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Géométrie
un petit exo
l'espace est rapporté a un RON (O,i,j,k)
Soient les points A(1;2;2);B(3;2;1)et C(1;3;3)
1)montrer que les points A,B;C forment un plan
2) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)
alors pour le 1) j'ai calculé le vecteur AB ce qui me donne (2;0;-1)
et je fait AB.C=0 mais le probleme c'est que ca ne fait pas 0 et donc ce n'est pas orthonormal ...
et je ne vois pas trop d'autre idée vous en avez une ??
merci
j'ai trouvé mais dite moi si c'est bon
je calcule le vecteur OA ce qui me donne (0;0;0
apré je fait OA.B ca me fait bien 0
puis OA.C ce qui me fait bien 0
donc c'est bien un plan
Est-ce bon ?
0/1 (donc pas colinéaire)
je trouve AB (2;0;-1) et BC (-2;1;2) donc ce n'est pas égale a AB=kBC
donc ce n'est pas colinéaire
mais je ne vois pas ce que ça prouve
ok et bien je me complique trop la vie ^^
par contre comment donner une équation cartésienne du plan ???
Tu as plusieurs méthodes à ta disposition.
La plus basique :
Soit M(x,y,z) appartenant au plan, alors il existe a et b tel que AM = aAB+bAC (en vecteurs), ce qui te donne trois équations et tu supprimes a et b.
Je sais pas vu que je passe en term.
Mais il faut 2 droites, avec A et C, tu as déjà y = z dans x = 1 ^^ (je sais pas si ça peut aider).
Avec B et C : z = -1/2x + 2,5 dans y = 2.
Donc tu as les équations
x-1=2a+0b=2a
y-2=0a+1b=b
z-2=-1a+1b=-a+b
tu obtiens, en supprimant a et b de la troisième équation :
z-2=-(x-1)/2+y-2
2z-4=-x+1+2y-4
x-2y+2z=1
Et tu vérifies que A, B, C vérifient cette équation
vect(AB) = (2 ; 0 ; -1)
vect(AC) = (0 ; 1 ; 1)
Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
--> les points A, B et C déterminent un et un seul plan.
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Soit le vecteur (a ; b ; c)
Il est orthogonal au vecteur(AB) et au vecteur(AC) si :
2a - c = 0
b + c = 0
Une solution de ce système est a = 1 , b = -2 et c = 2
--> plan (ABC): x - 2y + 2z + k = 0
Passe par A --> 1 - 4 + 4 + k = 0 --> k = -1
plan (ABC): x - 2y + 2z - 1 = 0
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Sauf distraction. 
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