Salut,
qu'est-ce qui fait 24 cm ? De plus, tel quel ça n'a pas beaucoup de sens...

bonjour idm
c'est le triangle qui fait 24 cm de chaque côté

et quels sont les conditions sur les cercles ?

Ils doivent faire le même rayon et être à l'intérieur du triangle

et bien tu trace 7 cercles de 1 mm de diamètre... voilà !

trop drôle !

Bonjour à vous deux

Bonjour,

si la question est "les cercles identiques les plus grands possibles" la solution est :


y a plus qu'à calculer le rayon ...

merci à tous,

>mathafou

Une approche de R
2.69 cm ?

Tout à fait.
il y a une valeur exacte de R.
et il y a une construction géométrique "simple" de non pas cette valeur exacte (dont on se fiche un peu) mais des cercles eux même. (construction exacte à la règle et au compas, comme d'hab)

Un site de référence sur le sujet :

quant à une construction géométrique :

MP = BM/2
détail (protocole) et justification laissés au lecteur.
une fois le point K construit, le reste L, K' les cercles et les autres cercles) coule de source.

Bonjour  mathafou
On voit le spécialiste à l'oeuvre
Très intéressant ton lien, merci

Bonjour,

Effectivement,le sujet a été très travaillé..

Pour ma part j'ai pris pour base le triangle
équilatéral dans lequel sont inscrits les 3 cercles
du sommet (dessin de mathafou)

Bonjour,

le problème est qu'il n'est pas possible (= ça ne mène à rien) de ne considérer que ce triangle : il pourrait à priori être de taille quelconque.
Il faut aussi considérer que "ce qui reste" en dessous est juste de la bonne taille pour y caser comme indiqué les 4 derniers triangles de même rayon que les trois premiers.

bref, il faut considérer la figure comme un tout
- pour en déduire ses propriétés (et donc la construction expéditive que j'ai donnée)
- et pour en déduire le rapport rayon/côté (donc la valeur du rayon avec côté donné = 24cm)

Pour cela on trace le "réseau" des centres et des points de contact (en rouge)



certaines propriétés sont "évidentes" d'autres nécessitent une justification (pas trop dure la justification, mais elle est nécessaire).
nous allons supposer que la figure est toutefois ce qu'elle parait, c'est à dire réellement symétrique et pas munie d'une subtile et invisible à l'oeil rupture de symétrie.

Lorsque deux cercles sont tangents, le point de contact est aligné avec la ligne des centres, au milieu, et les deux centres sont à distance 2r (propriété évidente)
les centres I, L et L' sont situés sur les bisectrices, à 30°, LBE = 30° etc
JJ'K'K est un carré (à cause de l'hypothèse de symétrie) et pas un simple losange (distance des centres = 2r donc losange)
les centres I,J,L sont alignés sur une parallèle à BC (car tous trois à distance r de la droite BC)
la conséquence immédiate est que LJK mesure 30°
C'est à peu près tout pour les "évidences"

Que B,L,K soient alignés doit être justifié.
c'est ici facile car IJK est isocèle en K et donc l'angle JLK mesure 30°
par conséquent (angles correspondants JLK = ABL) B, L et K sont bien alignés.
il en résulte immédiatement que LDD'L' le sont aussi sur une parallèle à BC et que KDD'K' est un rectangle.

maintenant quelques valeurs
intéressons nous aux triangles AIT et BLE
ce sont des "demi-triangle équilatéraux" (triangle rectangle avec des angles de 30 et 60°)
donc AI = 2r et BL aussi.
on en déduit que L est le milieu de BK
et que BK = CK' = 2KK'
le trapèze BKK'C est donc un trapèze isocèle de petite base = moitié d'un côté, et d'angle à la base = 30°
c'est ainsi que marche ma construction : elle construit un tel trapèze BMPB' (B' pas tracé) puis le "réduit" pour l'amener avec la base = BC.
(nota les points et points ' sont inversés)

le calcul du rayon se fait "au plus simple" en comptabilisant les distances parallèlement à BC

BC = BE + LD + KK' + D'L' + E'C
puis on utilise BE = r3 (Pythagore ou sin30°)
et on obtient la relation voulue en deux coup de cuillère à pot.

on peut aussi comptabiliser "verticalement"
AH = AI + etc
mais c'est "un peu plus long" (mais pas plus dur) car il faut diviser par AH/BC = 3/2 au final.
cela doit donner la même valeur, justifiant "après coup" la figure elle même
(que les 7 triangles rentrent bien sans se chevaucher)

Bonjour,
>mathafou

Tu sais que je respecte ton talent en math
et donc c'est ton exemple que les vrais
matheux doivent suivre.

Comme je le disait ailleurs, mes bases sont
modestes, mais il a bien fallu dans la vie active
que je trouve des solutions concrètes.

Ainsi pour cet exercice je trouve 7 cercles
de rayon 2.67 cm et ce n'est pas du hasard , mais
des recettes expérimentales ,dans un temps acceptable
(environ 10 minutes).

La "recette expérimentale" n'est absolument pas à dédaigner !
bien au contraire.

elle permet d'obtenir une figure acceptable "de suite", voire même exacte ici, en prenant le problème à l'envers : tracer les cercles d'abord (de rayon = 1 arbitraire) et en déduire le triangle autour.
il n'y a même pas à "ajuster jusqu'à ce que", c'est direct.
en inversant le rapport coté / rayon obtenu c'est tout bon.

et ensuite maintenant qu'on a une figure pour pouvoir raisonner, on fait comme j'ai expliqué (mais on a déja la valeur numérique du rapport, sans aucun calcul ou presque, avec Geogebra par exemple)
selon ce qui est demandé, cette méthode pragmatique s'avère souvent la plus efficace (donne une valeur numérique et un truc satisfaisant en un temps record)
évidemment si l'énoncé exige une valeur exacte (avec , fractions etc) sortir une valeur numérique ne répond pas au problème posé.
Ici on est un peu libre de faire ce qu'on veut y compris mettre 7 cercles de rayon 1mm

Bonjour Mathafou,

C'est très beau pour ceux qui apprécie la beauté des mathématiques.

j'ai essayé de comprendre.

on sait que l'angle LJK = 30° parce que JL est parallèle à AB et JK parallèle à AH (les trucs évidents du début)
On sait que JKL est isocèle en K parce que JK = KL = 2r

donc l'angle JLK est égal à l'angle LJK donc à 30°

mathafou, tu devrais tenter ta chance sur l'hypothèse de Riemann !

LJK  et TAI angles aigus à côtés respectivement //  OK:compris

Pourquoi le fait que BLK sont alignés

BE = r / tg(30°) tu as raison.
c'est pour BL = 2r qu'on utilise le sinus... ou juste que c'est un "demi triangle équilatéral" donc EL = BE/2

Pour LDD'L', tout dépend aussi comment on a défini D !!
si on définit D comme le point de contact de la tangente à (K) issue de L, le triangle LKD est "par construction" un demi-triangle équilatéral et KLD = 30°
comme on vient de montrer que (LK) est confondue avec la bisectrice de l'angle B, il en résulte que LD est parallèle à BC (angles correspondants encore)

en fait il fallait prouver que l'on n'avait pas un truc comme ça (exagéré) :

avec des points D₁ et D₂ distincts
En prouvant que BLK sont alignés on en déduit que LD₂ est parallèle à BC et donc que KD₂ est confondue avec KD₁ donc que D₂ = D₁ = appelé simplement D.

ce qui ne me semblait pas nécessiter un niveau de détail dans la preuve exagéré non plus.

J'ai compris.
Merci Mathafou pour ces explications complémentaires et le dessin qui montre la nécessité de prouver que B,L et K doivent être alignés.