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Niveau quatrième
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Géométrie

Posté par
Anne-lyse
31-05-15 à 15:36

Bonjour,
Montrer que dans un losange la somme des mesures des diagonales est inférieure au périmètre.
Merci de m'aider a comprendre.

Posté par
francois5
re : Géométrie 31-05-15 à 15:45

Salut, imaginons un losange ABCD de centre O. Quelle est la nature du triangle AOB ? Quelle relation (< ou >) a-t-on d'une part entre AO et AB ? d'autre part entre OB et AB ?

Posté par
Anne-lyse
Géométrie 31-05-15 à 15:53

La nature du triangle AOB est un triangle rectangle ,AO = AB ? , OB = AB ?
Merci

Posté par
francois5
re : Géométrie 31-05-15 à 16:08

Tu as fait un dessin ? Tu me dis AO = AB = OB : dans ce cas le triangle AOB n'est pas rectangle, mais plat : contradiction.
Je demande une relation du type AO < AB ou AO > AB.
Ça permet de dire qu'une demi-diagonale est inférieure/supérieure à un côté du losange.
Par conséquent si on somme les longueurs des quatre diagonales, on sera inférieur/supérieur au périmètre du losange...

Posté par
francois5
re : Géométrie 31-05-15 à 16:09

*Pas un triangle plat, n'importe quoi ! Équilatéral (donc pas rectangle non plus).

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 16:23

Oui j'ai fais un dessin mais je ne trouve pas un triangle equilatéral .
AO < AB ? OB < AB ?
Je ne comprend pas la suite .. :/

Posté par
francois5
re : Géométrie 31-05-15 à 16:30

Il faut bien trouver que AOB (et BOC, COD et AOD) sont des triangles rectangles. Équilatéral c'était en supposant AB=AO=BO et on voit bien que c'est impossible.
Bon on a bien AO < AB ce qui signifie que la demi-diagonale [AO] est inférieure au côté [AB].
De même la demi-diagonale [OB] est inférieure au côté [AB], donc aux autres côtés du losange (puisqu'ils sont égaux).

Finalement si tu sommes les quatre demi-diagonales du losange, tu obtiens un résultat inférieur à 4 fois le côté du losange, c'est-à-dire le périmètre.
Donc dans un losange la somme des mesures des diagonales est inférieure au périmètre.

Est-ce clair ?

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 16:32

Oui je comprends mieux mais je dois le rédigé comment sur le dm ?
Merci

Posté par
francois5
re : Géométrie 31-05-15 à 16:36

De la même façon que je t'ai aidée. Il n'y a pas de "ça se voit sur ce dessin", puisque tous les losanges vérifient la propriété qu'une demi-diagonale est inférieure au côté d'un losange, ça vient de la définition de l'hypoténuse comme côté le plus long d'un triangle rectangle.

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 16:41

D'accord donc je ne fais pas d'exemple ?

Posté par
mijo
re : Géométrie 31-05-15 à 18:38

Bonsoir
Le losange est constitué de 4 triangles rectangles égaux et dans un triangle rectangle l'hypoténuse est le plus grand des 3 côtés. Donc la demi-diagonale OA est plus petite que AB de même que OB est plus petite que AB
comme les 2 diagonales se coupent en leur milieu et que les 4 côtés sont égaux
si OA<AB et aussi OB<AB
2OA+2OB<4AB (4AB périmètre du losange).

Géométrie

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 18:42

Merci sais gentil de m'aidé par contre que veux dire 2OA + 2OB<4AB (4AB périmètre du losange) ?

Posté par
mijo
re : Géométrie 31-05-15 à 18:54

le signe <veut dire plus petit que
2OA=longueur de la diagonale AC et 2OB=longueur de la diagonale BD
les côtés AB, BC, CD et DA étant égaux le périmètre=AB+BC+CD+DA=4AB
2OA + 2OB<4AB
revient à dire que la longueur des 2 diagonales est plus petite que le périmètre

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 19:14

2OA reviens a dire OA + OC ?

Posté par
mijo
re : Géométrie 31-05-15 à 19:28

oui puisque comme déjà dit les diagonales se coupent en leur milieu (OA=OC et OA+OC=AC)

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 31-05-15 à 20:52

D'accord est ce que si je fais une figure je prends des mesures pour démontré ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Géométrie 01-06-15 à 10:53

Bonjour,
prendre des mesures n'a jamais démontré quoi que ce soit

la démonstration c'est un raisonnement et c'est ce qui a été dit.

Posté par
Anne-lyse
re : Géométrie 01-06-15 à 19:20

D'accord merci



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