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géométrie analytique
Bonjour
J'ai d'énorme difficultés pour ces exercices et je voudrais des pistes pour commencer mon exercice
Je ne veux pas de réponses toute faites mais des pistes
1Soit A(5,1,3) B(0,6,0) d
x=2r, Y=-3, Z=1-r et 
2x+my-5z=0
a)Ecrire l'équation cartésienne du plan 
passant par le point A et contenant l'axe y.
b)Ecrire l'équation cartésienne de 
perpendiculaire à d passant par A.
c)Déterminer m pour que soit parallèle à d
d)Déterminer la distance du point B au plan
BOnjour
Le plus simple dans les exercices de ce genre est d'imaginer les objets considérés (droites, plans et vecteurs) comme étant des solides que tu peux manipuler.
Plus précisément :
une droite = un bâton,
un plan = une planche,
un vecteur = un clou,
et donc :
un vecteur normal à une droite = un clou planté perpendiculairement dans un bâton (ce qui donne une espèce de Tonfa, le bâton de police. Si tu ne vois pas de quoi je parle : recherche tonfa sur google images) (on peut ensuite faire tourner le bâton sur lui-même pour abtenir des vecteurs normaux d'autres directions),
un vecteur normal à un plan = tout simplement un clou planté perpendiculairement dans une planche
Et l'astuce supplémentaire, imaginer qu'on puisse bouger les objets comme on veut, c'est à dire aussi bien les planches et les bâtons que les clous, tout en gardant une solidarité entre eux bien-sûr... (le plan doit rester perpendiculaire au clou quand on manipule le clou et réciproquement le clou doit rester perpendiculaire à la planche lorsqu'on manipule la planche, etc...)!
Appliqué à ton exercice, on arrive assez vite à comprendre que :
pour le a), il faut que la planche soit tenue uniquement par l'axe (Oy) et un point. On peut donc déterminer deux vecteurs directeurs du plan, l'un sera le vecteur j et l'autre sera... ah oui, pardon, que des pistes... ok ok ... ben je te laisse faire alors.
Quand tu auras deux vecteurs directeurs de , normalement tu sauras comment obtenir UNE équation cartésienne du plan.
Sinon, au besoin, l'ile aux maths n'est pas loin (.... le cours non plus d'ailleurs 
) !
Heu... non pas vraiment...
L'axe (Oy) appartient au plan , donc le vecteur j peut être un vecteur directeur de .
De plus O appartient à l'axe (Oy), donc O appartient au plan .
Le plan contient également le point A, donc il contient la droite (OA).
Pour le second vecteur directeur, il faut absolument qu'il ne soit pas colinéaire au premier qu'on a choisit, c'est à dire au vecteur j.
Quel vecteur, "inclus" dans , peut-on choisir de telle sorte qu'il vérifie cette condition ? et pourquoi ?
Non désolé, je n'ai pas Skype. 
k est une mauvaise réponse car on ne cherche pas un vecteur orthogonal à i et j, mais un vecteur non colinéaire à j et qui soit "contenu" dans le plan .
Je te donne la réponse ?
Très bien. Alors en fait, j est un vecteur directeur de car (Oy) est contenue dans le plan .
De plus O et A sont contenus dans , donc il en va de même pour la droite (OA) comme précisé plus haut.
Le vecteur OA peut donc être un vecteur directeur du plan à condition qu'il ne soit pas colinéaire au vecteur j.
Or on a les coordonnées de O et A : O(0;0;0) et A(5;1;3).
On en déduit les coordonnées du vecteur OA(5;1;3) (immédiat puisque O est l'origine du repère. (enfin j'imagine que ton repère de l'espace est bien noté (O;i;j;k) sinon il faut revoir tout ce que je raconte 
)
Le vecteur j a pour coordonnées (0;1;0) et OA(5;1;3).
Xj/XOA = 0/5 = 0
Yj/YOA = 1/1 = 1
0
1 donc Xj/XOA Yj/YOA
On en déduit que les vecteurs j et OA ne sont pas colinéaires (ce qu'on peut en fait affirmer plus rapidement normalement... mais j'ai fait une explication rigoureuse pour être plus clair).
Donc les vecteurs j et OA forment un couple de vecteurs directeurs du plan .
Tu sais quoi faire à partir de là ?
Bien !
Enfin on dira plutôt qu'on détermine un système d'équations paramétriques du plan .
Je te laisse faire, mets poste ton système que tu l'as fait et je te dirai si c'est bon ou pas.
Ensuite on pourra passer à la question suivante si tu souhaites.
Si tu ne sais pas faire le système, dis le également. Je t'expliquerai comment faire. (J'imagine que tu es en TS ? non ? A moins que tu ne sois en TES spé maths ?).
euh, je suis belge mais je dirais que le suis en bac langue, je poste d'ici deux trois minutes mon truc
)dis tu n'aurais pas msn car là je vais manger et puis se sera plus facile pour discuter du moins si cela ne te dérange pas
Excuse moi mais je préfère répondre sur l'Ile aux Mathématiques.
Ca permet d'aider plus de personne à la fois si on pense aux internautes qui rencontreront le meme exercice plus tard.
De plus, j'ai désinstallé msn il y a bien longtemps !!! Je ne fonctionne plus que par sms pour la messagerie instantanée.
Une réponse à la première question est : 3x - 5z = 0.
As-tu trouvé ca ?
Si tu souhaites, je peux repasser sur l'Ile aux Mathématiques plus tard ce soir. A toi de voir...
C'est bon j'ai compris la première question et ça correspond à la réponse du prof...
Passons à la question 2
Si tu le souhaites... 
Alors déjà, tu as indiqué : dx=2r.
Est-ce une erreur ? Sinon qu'est-ce que r ?
Ahhh ! Pardon, je crois que je viens de comprendre ! C'est un système d'équations paramétriques dont le paramètre est r ! N'est-ce pas ?
d est donc la droite de système paramétrique :
x = 2r
y = -3
z = 1 - r
L'idée du plan , c'est tout simplement une planche contenant un trou dans lequel on fait passer un bâton perpendiculairement.
En imaginant cela, on devine facilement un vecteur normal au plan non ?
Et bien tout vecteur directeur de la droite sera un vecteur normal au plan.
Or, d'après le système d'équations paramétriques de la droite d, celle-ci admet clairement le vecteur de coordonnées (2;0;-1) comme vecteur directeur.
Est-ce que tu comprends ?
Si tu as compris l'étape précédente, tu devrais d'ors et déjà avoir une équation cartésienne contenant une inconnue.
Il te suffit alors, pour la déterminer, de préciser que A appartenant au plan , ses coordonnées doivent vérifier toute équation cartésienne de , et en particulier celle que tu as obtenue.
Tu détermines alors cette inconnue, et tu as la réponse finale.
Non...
Voici la réponse pour la deuxième question :
Ici tu sais que le vecteur de coordonnées (2;0;-1) est un vecteur directeur de d, donc un vecteur normal à tout plan perpendiculaire à d.
Le plan admet donc pour équation cartésienne : 2x + 0y -1z + d = 0 avec d 
.
Mais comme A(5;1;3) appartient au plan , ses coordonnées doivent vérifier cette dernière équation.
Donc : 2*5 + 0*1 -1*3 + d = 0
Soit d = -7
Conclusion : La plan , perpendiculaire à la droite d et passant par A, admet pour équation cartésienne : 2x - z -7 = 0
PS : Je peux répondre plus vite si tu réponds plus vite toi aussi...
Ok c'est vraiment gentil, on peut passer à la 3 (en fait géométrie ce n'est vraiment pas mon truc alors qu'en analyse je suis trop une bête mais là je pige que dalle)
En reprenant le système d'équation paramétrique j'obtiens ça, x+2z=11
Tu trouves ça pour quoi ? le plan
?non c'est complètement faux on peut passer à la question 3 car j'ai compris mon erreur..
En fait pour la trois on doit déterminer m pour que le vecteur normal de alpha et la droite d soient perpendiculaire
donc 2*2+ 0*m+(5*(-1)=0
donc -1+0=0
impossible?
Bravo !
Bien que perfectibles, tes réponses sont meilleures ici. (je mets en gras les petites corrections justement)
Tu as le bon raisonnement. Il faut en effet qu'un vecteur normal de , par exemple celui de coordonnées (2;m;-5) soit orthogonal à un vecteur directeur de la droite d, par exemple, celui de coordonnées (2;0;-1) qu'on a déjà utilisé.
Ton repère est orthonormé je suppose (sinon tu ne peux pas appliquer la formule du produit scalaire qui utilise les coordonnées cartésiennes des vecteurs).
Du coup, le produit scalaire des deux vecteurs doit être nul, c'est à dire : 2*2 + 0*m + (-1)(-5) = 0 (attention aux signes)
Soit : 4+5 = 0
Ce qui est impossible en effet.
Donc il n'existe pas de valeur réelle de m telle que la droite d et le plan soient parallèles.
Suivante ?
on doit juste utiliser la formule valeur absolue axa+bya+cza+d/ racine de a²+b²+c²
Voilà en tout cas merci beaucoup
Oui c'est bien ça.
Tu devrais normalement trouver que la distance du point B au plan vaut 7/
5, c'est à dire (75)/5.
J'ai un tout dernier exercice je peux vous le poser? comme il est assez tard pourriez vous juste donner la réponse
soit alpha: x-y+3z= 5
soit d
x= 1-2r
y=r
z=2-r
déterminez le plan pi perpendiculaire à alpha et contenant d
Pas de soucis.
Voici ce à quoi m'amènent mes images du début (bâton, clou, planche, etc...).
Pour commencer il nous faut un point de d (n'importe lequel en fait) : Si on prend r = 0, on a le point P(1;0;2)d.
De plus, le plan 
doit être perpendiculaire au plan , qui admet pour vecteur normal le vecteur 
de coordonnées (1;-1;3).
est donc également un vecteur directeur du plan .
Le plan doit contenir la droite d qui admet pour vecteur directeur 
(-2;0;-1).
Or et ne sont pas colinéaires puisque X/XY/Y (à montrer par le calcul de ces quotients bien entendu)
et forment donc un couple de vecteurs directeurs du plan dont on peut alors déterminer un système d'équations paramétriques (à l'aide du point P).
M
il existe r et r' réels tels que :
(en vecteur) PM = r + r'
(en système)
x = rx + r'x + xP
y = ry + r'y + yP
z = rz + r'z + zP
(en système)
x = -2r + 1r' + 1
y = 0r - 1r' + 0
z = -1r + 3r' + 2
Après avoir éliminé r et r', on obtient une équation cartésienne du plan recherché :
x + 5y - 2z + 3 = 0
(sauf erreurs...)
Merci beaucoup
Voilà j'ai une derniere question mais plus d'ordre général voilà en fait j'adore l'analyse et je voudrais parfaire mes connaissance dans cette branche mais je ne sais pas ce que l'on apprend en prépa, ne seriez pas en mesure de me dire le programme de la première année en analyse?
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