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Niveau seconde
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Géométrie dans des triangles

Posté par
AITo
29-11-21 à 23:56

Bonjour,

J'ai du mal à résoudre les questions 2 et 3 d'un problème de géométrie plane, voici l'énoncé :
Soit ABC un triangle non équilatéral. Appelons I le milieu du segment [BC], J le milieu du segment [AC], (\Gamma
) le cercle circonscrit au triangle ABC, O le centre du cercle (\Gamma), A' le symétrique A par rapport à O, H l'orthocentre du triangle ABC.H' le symétrique de H par rapport à la droite (BC) et A1 le milieu du segment [HH'].

1) Comparez les directions des droites (OJ) et (CA').
2) Démontrez que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme. Quel est son centre ?
3) Démontrez que les droites (BC) et (H'A') sont parallèles. Déduisez-en que le point H', symétrique de H par rapport à la droite (BC), est sur le cercle (\Gamma) circonscrit au triangle ABC.

La figure que j'ai construite est ci-jointe.

1)J'ai démontré que (OJ) \perp (AC) et que (A'C) \perp (AC), donc que (OJ) // (A'C).

2)J'ai deux idées de base :
Démontrer que (BH) // (A'C) et que (BA') // (HC).
Démonter que I est le milieu de [BC] et [HA'].
J'ai trouvé que (BH) // (A'C) car elles sont perpendiculaires à (AC), (BH) étant la hauteur issue de B de ABC et (A'C) étant un triangle rectangle.
Cependant je ne vois pas comment démontrer que (BA') // (HC) mais j'ai remarqué que (BA') \perp (AB).
L'énoncé stipule que I est le milieu de [BC] mais je n'arrive pas à démontrer qu'il est milieu de [HA'] (mon hypothèse est que cela à un rapport avec des triangles rectangles).

3) Je suis bloqué au début et je ne sais pas comment démontrer que (A'H') // (BC) (je pense que cela concerne la hauteur issue de A de ABC ou la médiatrice de (BC)).

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par
AITo
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 00:02

Figure :

Géométrie dans des triangles

Posté par
hekla
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 00:21

Bonsoir

une figure
2 Suivez les couleurs

Géométrie dans des triangles

Posté par
hekla
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 00:27

3 K le point d'intersection de (BC) et (AH)

Droite des milieux dans HA'H'

Posté par
AITo
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 18:10

Bonsoir,
merci pour votre réponse.

2) Si j'ai bien compris, (HC) est la hauteur issue de C dans ABC et le triangle AA'B est rectangle en B. Donc (HC) // (BA').
Également, dans le triangle AA'H, par la droite des milieu, (OI) est sécante à (HA') en I milieu de [HA'].
Ce qui fait que les diagonales de HBA'C se soupent en leur milieu et qu'il est un parallélogramme.

3) HA'H' (BC) coupe (HH') et (HA') en leur milieu et est donc parallèle à (H'A'). Puis je démontre que le point H' est sur le cercle car AA'H' est rectangle en H' et que l'hypoténuse (AA') passe par O avec H' \neq A et H' \neq A'.

Posté par
hekla
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 18:31

Bonsoir

Vous avez déjà démontré que les droites (BH) et(A'C) sont parallèles

Citation :
J'ai trouvé que (BH) // (A'C) car elles sont perpendiculaires à (AC), (BH) étant la hauteur issue de B de ABC et (A'C) étant un triangle rectangle.
Deux points sont insuffisants pour un triangle

On en fait autant avec les deux autres côtés
Citation :
(HC) est la hauteur issue de C dans ABC et le triangle AA'B est rectangle en B. Donc (HC) // (BA').


Un quadrilatère qui a ses côtés parallèles 2 à 2 est un parallélogramme. Donc A'CHB  est un parallélogramme.

Les diagonales se coupant en leur milieu I étant le milieu de [BC] il est

Question 3
I est le milieu de   , K est le milieu de [HH']  raison de symétrie

Dans un triangle la droite qui joint le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté donc

(HH')et (BC) perpendiculaires (BC) et (H'A') parallèles  donc  

\widehat{A'H'A} droit   Donc H' appartient  mais  à revoir la rédaction

Posté par
AITo
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 19:06

Merci beaucoup, c'est tout bon pour l'exercice et je reverrai donc la rédaction.

Posté par
hekla
re : Géométrie dans des triangles 30-11-21 à 19:09

S'il y a des problèmes n'hésitez pas
De rien



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