Bonjour,
J'ai du mal à résoudre les questions 2 et 3 d'un problème de géométrie plane, voici l'énoncé :
Soit ABC un triangle non équilatéral. Appelons I le milieu du segment [BC], J le milieu du segment [AC], (
) le cercle circonscrit au triangle ABC, O le centre du cercle (), A' le symétrique A par rapport à O, H l'orthocentre du triangle ABC.H' le symétrique de H par rapport à la droite (BC) et A1 le milieu du segment [HH'].
1) Comparez les directions des droites (OJ) et (CA').
2) Démontrez que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme. Quel est son centre ?
3) Démontrez que les droites (BC) et (H'A') sont parallèles. Déduisez-en que le point H', symétrique de H par rapport à la droite (BC), est sur le cercle () circonscrit au triangle ABC.
La figure que j'ai construite est ci-jointe.
1)J'ai démontré que (OJ) (AC) et que (A'C)
(AC), donc que (OJ) // (A'C).
2)J'ai deux idées de base :
Démontrer que (BH) // (A'C) et que (BA') // (HC).
Démonter que I est le milieu de [BC] et [HA'].
J'ai trouvé que (BH) // (A'C) car elles sont perpendiculaires à (AC), (BH) étant la hauteur issue de B de ABC et (A'C) étant un triangle rectangle.
Cependant je ne vois pas comment démontrer que (BA') // (HC) mais j'ai remarqué que (BA') (AB).
L'énoncé stipule que I est le milieu de [BC] mais je n'arrive pas à démontrer qu'il est milieu de [HA'] (mon hypothèse est que cela à un rapport avec des triangles rectangles).
3) Je suis bloqué au début et je ne sais pas comment démontrer que (A'H') // (BC) (je pense que cela concerne la hauteur issue de A de ABC ou la médiatrice de (BC)).
Merci beaucoup d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
merci pour votre réponse.
2) Si j'ai bien compris, (HC) est la hauteur issue de C dans ABC et le triangle AA'B est rectangle en B. Donc (HC) // (BA').
Également, dans le triangle AA'H, par la droite des milieu, (OI) est sécante à (HA') en I milieu de [HA'].
Ce qui fait que les diagonales de HBA'C se soupent en leur milieu et qu'il est un parallélogramme.
3) HA'H' (BC) coupe (HH') et (HA') en leur milieu et est donc parallèle à (H'A'). Puis je démontre que le point H' est sur le cercle car AA'H' est rectangle en H' et que l'hypoténuse (AA') passe par O avec H' A et H'
A'.
Bonsoir
Vous avez déjà démontré que les droites (BH) et(A'C) sont parallèles
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