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geometrie dans l espace
I et J sont les milieux des aretes EH et EF du parallélipipéde rectangle
ABCDEFGH.
Les droites AI et DH se coupent en M
Les droites AJ et BF se coupent en N
1) Montrer que MA=2MI (on pensera a se placé dans le triangle ADM)
De la meme facon montrer que Na=2NJ
2)En deduire que les droites IJ et MN sont paralleles .
1)
Les triangles ADM et IHM sont semblables car ils ont leurs cotés // 2
à 2 et par là leurs angles égaux 2 à 2.
-> AD/IH = MA/MI
avec AD = EH = 2.IH ->
2.IH/IH = MA/MI
MA/MI = 2
MA = 2.MI
-----
Les triangles ANB et JNF sont semblables car ils ont leurs cotés // 2
à 2 et par là leurs angles égaux 2 à 2.
-> NA/NJ = AB/JF
avec AB = EF = 2.JF ->
NA/NJ = 2.JF/JF
NA/NJ = 2
NA = 2.NJ
----------
2)
Dans le triangle AMN, IJ passe par le milieu de 2 cotés, on a donc IJ
est // au 3ème coté du triangle et en vaut la moitié ->
IJ // MN (et aussi IJ = (1/2).MN)
-----------
Sauf distraction.
Bonjour quand même 
- Question 1 -
Dans le triangle ADM,
H 
[MD],
I [AM]
(IH)//(AD).
D'après Thalès, on a :
MI/MA = MH/MD = IH/AD
En particulier,
MI/MA = IH/AD
I étant le milieu de [EH], alors :
IH = 1/2 EH = 1/2 AD
car ADHE est un rectangle.
On en déduit que :
MI/MA = 1/2
c'est-à-dire que MA = 2 MI.
De même :
dans le triangle ANB, j'utilise le théorème de Thalès :
NJ/NA = NF/NB = JF/AB
En particulier, on a :
NJ/NA = JF/AB
J est le milieu de [EF].
Par un raisonnement analogue au précédent, tu en déduis que :
NA = 2NJ
- Question 2 -
On a donc montré que :
NJ/NA = MI/MA
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en conclut que les droites
(IJ) et (MN) sont parallèles.
Voilà, voilà, bon courage ...
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