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Géométrie dans l'espace
Bonjour, j'ai quelques questions sur le chapitre "Géométrie dans l'espace".
1. Comment montrer qu'une droite est incluse dans un plan ? En l'occurence avec un plan contenant une variable.
2. Si j'ai un plan qui contient une variable , quel est l'ensemble des points de l'espace qui appartiennent à au moins un de ces plans ?
Merci de votre aide 
Salut,
Questions pas claires du tout, vaut mieux un énoncé réel...
1 : Pour montrer qu'une droite est incluse dans un plan, il suffit de montrer que deux points distincts de cette droite sont sur le plan.
2 : incompréhensible.
Bonjour,
Question 2 :
sur une famille de plans Pλ dépendants d'un paramètre λ
développer et réordonner selon la variable λ : A(x,y,z)&lambda + B(x,y,z) = 0
l'idée est de "résoudre" cette équation en l'inconnue λ pour savoir pour quelles valeurs / conditions sur x, y, z on peut trouver λ (= résoudre cette équation en λ )
et si on cherche un ensemble de points qui appartiennent à tous les plans Pλ
il faut écrire que cette équation en λ s'écrit 0λ + 0 = 0
(donc A(x,y,z) = B(x,y,z) = 0 donc peut être une droite, qui sait, intersection des plans A(x,y,z)=0 et B(x,y,z)=0 si plans il y a )
Bonjour,
Salut,
Questions pas claires du tout, vaut mieux un énoncé réel...
L'espace est rapporté à un repère orthonormé
1. Déterminer une équation cartésienne du plan 3 passant par A de vecteur normal w.
On a :
On considère les plans Q et R d'équations respectives :
2. 1) Donner la représentation paramétrique d'une droite D, intersection des plans Q et R.
On a :
2) Montrer que D passe par A et préciser un des vecteurs directeurs de cette droite.
Le vecteur directeur :
3. Soit
1) Montrer que la droite D est incluse dans ce plan.
Salut,
1 : Pour montrer qu'une droite est incluse dans un plan, il suffit de montrer que deux points distincts de cette droite sont sur le plan.
2) Montrer que le vecteur
Ca c'est bon.
3) Donner une valeur de lambda pour laquelle les plans Q et Qlambda sont confondus.
4) Existe-t-il une valeur de lambda pour laquelle les deux plans sont perpendiculaires ?
Non.
4. Quel est l'ensemble des points de l'espace qui appartiennent aussi à l'un (au moins) des plans Qlambda ?
Je vais travailler là-dessus, merci pour vos premières réponses.
Il me semble que les coordonnées du point A sont erronées et qu'elles devraient être (2; - 1; - 1) .
Il me semble que les coordonnées du point A sont erronées et qu'elles devraient être (2; - 1; - 1) .
Oui pardon, je me suis trompée en recopiant. C'est bien
4) Pourquoi affirmes-tu que les deux plans Q et Q
ne peuvent être perpendiculaires ?Bonjour, voilà ce que j'ai mis pour la 4 :
Pour que les deux plans soient perpendiculaires, il faut qu'un vecteur directeur à la droite D appartenant au plan Q soit colinéaire à un vecteur normal au plan Q_λ.
Or, on a :
Le système suivant doit donc être vérifié :
Or, pour k=1, on trouve :
Les deux valeurs de λ sont différentes donc il n'existe pas de valeur de λ pour laquelle les deux plans sont perpendiculaires.
Merci de votre aide
Pour la 3.1) j'ai trouvé :
D'après la représentation paramétrique de D, on a : .
On remplace ces valeurs dans l'équation cartésienne du plan.
Soit : . On trouve bien 0 à la fin. On en déduit que D est incluse dans le plan
.
4) Tu pourrais aussi considérer que, lorsque deux plans sont perpendiculaires, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
4) Tu pourrais aussi considérer que, lorsque deux plans sont perpendiculaires, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Bonjour,
Effectivement, en faisant comme ça les deux plans sont perpendiculaires pour
Par contre je ne comprends toujours pas comment résoudre la question 4, quelle est la méthode ?
La question 4. ne me paraît pas claire.
Les plans Q passent tous par la droite D. Quand varie, un plan Q pivote autour de cette droite en balayant l'espace entier. Je ne vois donc pas comment un point de l'espace pourrait ne pas être contenu dans un plan Q . . . .
Bonjour,
Q
pivote autour de cette droite en balayant l'espace entier pivotent autour de la droite D .
Mais sans tout balayer.
Essayer avec E(1,-1,-1) .
Bonjour,
Q
pivote autour de cette droite en balayant l'espace entier pivotent autour de la droite D .
Mais sans tout balayer.
Essayer avec E(1,-1,-1) .
Effectivement, E n'appartient pas au plan
Mais est-ce-que l'ensemble des points de l'espace qui appartiennent aussi à l'un (au moins) des plans
pour la question 4 j'ai dit comment faire ... ou presque (c'était pour trouver D, mais le point de départ est le même)
développer et réordonner selon la variable λ : A(x,y,z)λ + B(x,y,z) = 0
l'idée est de "résoudre" cette équation en l'inconnue λ pour savoir pour quelles valeurs / conditions sur x, y, z on peut trouver λ (= résoudre cette équation en λ )
et si on cherche un ensemble de points qui n'appartiennent à aucun des plans Qλ
il faut écrire que cette équation en λ s'écrit 0λ + k = 0 avec k différent de 0
donc A(x,y,z) = 0 : les points d'un certain plan
et B(x,y,z) ≠ 0 : sauf ceux qui appartiennent aussi à ce plan là
donc sauf ceux appartenant à la droite d'intersection des plans A(x,y,z)=0 et B(x,y,z)=0
et on peut déja deviner que cette droite là ... c'est la droite D !!
en effet l'ensemble des points qui appartiennent à tous les plans Qλ sont ceux pour lesquels l'équation en l'inconnue λ s'écrit 0λ + 0 = 0
(mon message initial du 09-05-19 à 19:19)
c'est à dire les points (A(x,y,z)=0; B(x,y,z)=0), intersection des plans A(x,y,z)=0 et B(x,y,z)=0
pour la question 4 j'ai dit comment faire ... ou presque (c'était pour trouver D, mais le point de départ est le même)
développer et réordonner selon la variable λ : A(x,y,z)λ + B(x,y,z) = 0
l'idée est de "résoudre" cette équation en l'inconnue λ pour savoir pour quelles valeurs / conditions sur x, y, z on peut trouver λ (= résoudre cette équation en λ )
et si on cherche un ensemble de points qui n'appartiennent à aucun des plans Qλ
il faut écrire que cette équation en λ s'écrit 0λ + k = 0 avec k différent de 0
donc A(x,y,z) = 0 : les points d'un certain plan
et B(x,y,z) ≠ 0 : sauf ceux qui appartiennent aussi à ce plan là
donc sauf ceux appartenant à la droite d'intersection des plans A(x,y,z)=0 et B(x,y,z)=0
et on peut déja deviner que cette droite là ... c'est la droite D !!
en effet l'ensemble des points qui appartiennent à tous les plans Qλ sont ceux pour lesquels l'équation en l'inconnue λ s'écrit 0λ + 0 = 0
(mon message initial du 09-05-19 à 19:19)
c'est à dire les points (A(x,y,z)=0; B(x,y,z)=0), intersection des plans A(x,y,z)=0 et B(x,y,z)=0
J'ai :
Merci de votre aide
non
les plans qui appartiennent à TOUS les plans Q sont ceux pour lesquels et
ce qui correspond effectivement à la définition de la droite D ("les points qui appartiennent à tous les Qλ, quel que soit λ)
ce que l'on peut vérifier en reportant les coordonnées paramétriques de D dans ces équations
ce qu'on cherche dans la question 4 sont les points qui appartiennent à au moins un plan Qλ
et c'est tous les points de l'espace tout entier sauf ceux qui n'appartiennent à aucun plan Qλ
et ceux qui n'appartiennent à aucun plan Qλ, ceux dont les coordonnées ne permettent pas de trouver un λ, ceux pour lesquels l'équation en l'inconnue λ s'écrit
0λ + k = 0 avec k ≠ 0
donc
(c'est un plan)
et (les points en dehors du plan
)
donc finalement tous les points du plan privé de la droite D
et ça c'est les points de l'espace par lesquels il ne passe aucun plan Qλ
et ceux par lesquels il passe au moins un plan Qλ... c'est tous les autres points de l'espace.
ceux qui sont en dehors de D la dedans étant ceux par lesquels il passe un seul plan Qλ
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