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Géométrie dans l'espace

Posté par
alphaetbeta22
16-04-20 à 14:16

Bonjour,

J'ai un exercice qui ne parait pas super compliqué mais sur lequel j'ai quelques blocages.

Voici l'énoncé :

Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1. On choisit le repère orthonormé (A,AB,AD,AE) (ce sont des vecteurs mais je ne sais pas comment les représenter)

L'objectif de notre exercice est de déterminer un ensemble (E) des points M(x;y;z) équidistants de A, H et G.

1. a) Calculer AM2, GM2 et HM2.

Ici j'ai essayé de calculer avec la formule pour calculer des longueurs : AM2= (xM-xA)2+(yM-yA)2 mais je ne vois pas en quoi cela va m'aider pour la suite car ça me donne des choses que je ne sais pas trop exploiter.

b) Démontrer que "M(x;y;z) est équidistants de A,H et G" équivaut à :

(S)    y+z=1
          x+y+z=(3/2)       (c'est un système mais je ne sais pas représenter l'accolade)

Je suppose que ce que j'ai trouvé au a) est censé m'aider mais ducoup je suis bloqué.

2. En déduire que l'ensemble (E) est la droite dont une représentation  paramétrique est :

                                x=(1/2)
                                y=1-t
                                z=t

3. Démontrer que la droite passe par les milieux des segments [EF] et [DC].

Merci par avance à ceux qui prendront le temps de m'aider.

Posté par
Priam
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 14:30

1. Détermine les coordonnées des points A, G et H , puis remplace dans les expressions de AM², GM² et HM². Les coordonnées de M sont (x; y; z).

Posté par
Glapion Moderateur
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 14:31

Alors que trouves-tu pour AM2, GM2 et HM2. ? une fois utilisée la formule que tu as donnée (mais à laquelle il manque un bout, on est dans l'espace)
AM2= (x -xA)2+(y -yA)2 +(z -zA)2

Ensuite écris que AM2 = GM2 = HM2 et tu verras bien ce que ça donne comme équations. Si tu ne te lances pas, tu resteras bloqué

Posté par
alphaetbeta22
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 14:45

A Priam :  J'ai réussi pour les coordonnées j'étais juste un peu bloqué pour calculer les longueurs, mais merci quand même au moins j'ai déjà eu le réflexe de chercher les coordonnées

A Glapion : Merci, je n'étais pas sûr pour z si je devais l'intégrer ou non !
Ducoup voilà ce que j'ai trouvé :

AM2 = x2 +y2+z2
GM2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2
HM2= x2+(y-1)2+(z-1)2

Est ce que c'est bon ? Je me suis peut être trompé dans les coordonnées.
Et pourquoi écrire que AM2=GM2=HM2
C'est pour montrer que M est équidistants de A, H et G ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 14:53

Citation :
Et pourquoi écrire que AM2=GM2=HM2
C'est pour montrer que M est équidistants de A, H et G ?


tu ne trouves pas ça logique ?

Posté par
alphaetbeta22
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 15:07

Si ça y est j'ai compris c'es logique, j'ai calculé et j'ai bien retrouvé le système proposé !

Pour la 2, je ne sais pas trop dans quel sens prendre le problème.
Avec la représentation paramétrique on a les coordonnées du point M et le vecteur directeur de la droite .
Mais je ne sais pas comment vraiment parvenir à ce qu'on me demande.

Posté par
Priam
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 15:32

2. Le système (S) définit, par les équations de deux plans, l'ensemble (E) des points M, qui est la droite .
C'est de ce système que tu peux déduire la représentation paramétrique proposée pour ladite droite.

Posté par
alphaetbeta22
re : Géométrie dans l'espace 16-04-20 à 17:09

Ok merci j'ai finalement réussi !

Merci pour votre aide



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