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géométrie dans l'espace

Posté par
Nelcar 05-01-21 à 15:18

Bonjour,
voici un autre exercice à savoir :
Soit les vecteurs u (flèche au-dessus)(0;1;2), v(flèche au-dessus(1;1;30) et w (flèche au-dessus)(-1;3;1)
1) démontrer que (u flèche au-dessus, v flèche au-dessus et w flèche au-dessus) est une base de l'espace (indication : Montrer que u flèche au-dessus, v flèche au-dessus et w flèche au-dessus ne sont pas coplanaires
2) déterminer les coordonnées du vecteur t(flèche au-dessus)(5;-4;5) dans cette base

voici ce que j'ai fait :

soit a, b , et c trois réels tels que au(flèche dessus le u)+bv(flèche dessus le v)+cw(flèche dessus le w) =0 (flèche au-dessus
donc :      b-c=0
1+b+3 c=0
2+30 b +  c=0
b-c=0  donc b=0 je remplace dans la deuxième équation b par c soit
1+c+3c=0    4c=-1   c=-1/4    donc b dans la première est égal aussi à -1/4
et dans la troisième 2 + 30*-1/4+-1/4 et là je trouve -23/4 donc comme je ne trouve pas 0 je suppose donc que que les vecteurs au(flèche dessus le u)+bv(flèche dessus le v)+cw(flèche au-dessus) ne sont pas coplanaires.
mais petite question qu'aurait-il fallu pour que  les vecteurs soient coplanaires (fallait-il qu'ils soient égal à 0 ?)
donc si les vecteurs au(flèche dessus le u)+bv(flèche dessus le v)+cw(flèche dessus) ne sont pas coplanaires ça veut dire qu'ils font partis de la base de l'espace est-ce bien ça ?

2°déterminer les coordonnées du vecteur t(flèche au-dessus)(5;-4;5) dans cette base a,b,c tels  que t (flèche au-dessus)= au(flèche au-dessus) + bvflèche au-dessus) + cw (flèche au-dessus)
au(flèche au-dessus) + bvflèche au-dessus) + cw (flèche au-dessus) a pour coordonnées
b-c = 5
a+b+3c=-4
2a+30b+c=5

je ne sais pas ce qu'il faut que je fasse après

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 15:42

Ouch !

Tu indiques à raison que tu cherches trois réels a, b et c tels que a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{o}.

Ce qui revient à résoudre l'équation vectorielle suivante :

\begin{pmatrix} b-c \\ a+b+3c \\ -2a+30b+c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Je crois que tu as perdu le réel a dans tes calculs et tu l'as remplacé par 1

La première ligne t'indique b=c. Exploite-la pour simplifier les calculs.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 16:21

Re,
oui en effet
par contre je suis ok pour ce que tu mets à part la troisième ligne moi j'ai +2a et non -2a

là je suis perdue
j'utilise donc b=c
dans la deuxième ligne je trouve donc a=4c
puis je remplace dans la troisième et je trouve 23c=0

je ne sais plus quoi faire maintenant

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 16:55

Effectivement c'est 2a et non -2a.

La première ligne indique b=c. Tu remplaces b par c dans toutes les expressions.

La deuxième ligne devient a+4c=0 donc a=-4c.

Je reporte le tout dans la troisième :

2a+30b+c=0 devient -4c+30c+c=0 donc 27c=0

Tu en déduis que a=b=c=0. Ce qui signifie qu'il n'y a aucune combinaison linéaire entre les trois vecteurs, ils sont donc indépendants.


Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 17:13

Re,
je ne retrouve pas comme toi car pour moi c'est b=-1
si je remplace dans le deuxième je trouve a + 2c=0
et dans le troisième je trouve 2a-29c=0

J'arrête là pour attendre ta réponse
MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 17:15

Pourrais-tu me détailler tes calculs ? J'aimerais voir comment tu trouves que b=-1. Je peux m'être trompé.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 17:23

Re,
b-c=0
a+b+3 c=0
2a+30 b +  c=0     donc à

b=  - c
a-c+3c=0
2a-30c+c=0

b= -c
a+2c=0
2a-29c=0

b=-c
a=-2c
-33c=0  

b=-c
a=-2c
-33c=0

on en conclut que les vecteurs au(flèche dessus le u)+bv(flèche dessus le v)+cw(flèche dessus) ne sont pas coplanaires ça veut dire qu'ils font partis de la base de l'espace

je m'arrête là pour la première partie

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 17:30

Attention : b-c=0 donc b=c et non b=-c

Sinon c'est bien ça : si tu montres que les réels a,b et c sont nuls pour obtenir l'équation a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{o}, alors les vecteurs forment une base.

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 17:31

Pour la seconde question, peux-tu m'expliquer ce que tu fais ?

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 18:23

Re,
sur mon livre j'ai un exemple
a+4b=0
et après ils mettent a= - 4b

petite question et si j'avais eu a=0 b= 0 et c=0 donc c'était coplanaire, c'est ça ?

2)on cherche 3 réels, a,b,et c tels que t(flèche au-dessus)=au(flèche au-dessus)+bv(flèche au-dessus)+cw(flèche au-dessus). On a vu à la question 1 que le vecteur au(flèche au-dessus)+bv(flèche au-dessus)+cw(flèche au-dessus) a pour coordonnés
b+c
a+b+3c
2a+30b+c
l'égalité t(flèche au-dessus)=au(flèche au-dessus)+bv(flèche au-dessus)+cw(flèche au-dessus) est donc équivalente au système
b+c=5
a+b+3c=-4
2a+30b+c=5   donc

b=5-c
a+5-c+3c=-
2a +30(5-c)+c=5   ce qui équivaut à
b=5-c
a+5+2c=-4
2a+150-30c+c=5     soit à
b=5-c
a+2c=-9
2a-29c=-145
  soit à
b=5-c
a+2c=-9   je multiplie par 2
2a-29c=-145

b=5-c
-2a-4c=18
2a-29c=-145    devient
b=5-c
33c=127
2a-29c=-145

b=5-c
c=127/33
2a-29(127/33)=-145

soit
b=508/33
c=127/33
a=-551/33


mais pas sûr car gros chiffre

MERCI

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 19:29

Merci de me répondre Lyceen

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 20:41

Je vais faire l'exercice plus tard dans la soirée et je te répondrai.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:07

ok
merci de me réponse ce jour

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:11

Ce jour... euh... quand même... A moins que cet exercice ne t'ait été donné aujourd'hui, ce serait gentil de réagir plus vite.

Bon, il y a quelque chose qui m'étonne. As-tu vu en cours comment exprimer les coordonnées dans une nouvelle base  ?

Pour moi, il s'agit d'un cours de maths en supérieur, je veux dire en post-bac.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:18

Re,
disons que c'est pour demain fin de matinée.
cette semaine je suis en différentiel et il faut faire les exercices avec notre livre . Dans le livre il y a un endroit qui parle de déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base

j'ai fait d'après l'exemple

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:20

D'accord.  Là, je m'adresse aux profs officiels car à part une matrice de passage, je ne vois pas comment calculer le changement de base.

Une matrice de passage est un thème abordé en supérieur en algèbre linéaire.

JE vais voir si j'obtiens le même résultat que toi. Je fais le calcul tout de suite.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:26

Re,
j'ai peur que l'on est le même problème que la partie 1
car j'ai b+c=5   donc j'ai mis b=5-c
sur mon livre quand il change de côté il change de signe

pour les paries 1et 2 d'ailleurs.

MEERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:31

Nelcar @ 05-01-2021 à 21:26

Re,
j'ai peur que l'on est le même problème que la partie 1
car j'ai b+c=5   donc j'ai mis b=5-c
sur mon livre quand il change de côté il change de signe

pour les paries 1et 2 d'ailleurs.

MEERCI


Je ne comprends pas ce que tu veux me dire. Tu peux m'expliquer ?

b+c=5 est bien équivalent à b=5-c

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 21:47

Je confirme que tu as presque trouvé le bon résultat, il y a un problème pour b

Le vecteur (5; -4; 5) a bien pour coordonnées \left(\dfrac{-551}{33}; \dfrac{292}{33}; \dfrac{127}{33}\right)

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 22:08

Re,
dans la première partie je pensais que tu avais fait une erreur mais non c'est bien moi qui me suis trompée j'ai mis b+c au lieu de b-c donc le calcul est faux . Je vais y regarder

pour la question 2) donc je retrouve cette erreur là aussi évidemment
et je pense que tu as fait tes calculs avec mon erreur
donc tout au début il faut prendre b-c=0 dans la partie 1 au début donc b=c et non b=-c
donc les résultats changent
je trouve maintenant (508/23 ; -12/23 ; -127/23)

MERCI (désolée)

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 22:13

Pas de soucis. Content de t'avoir aidée.

Cependant, bien que je n'en sois pas sûr à 100%, je me permets de souligner que mon changement de base est bon.

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 22:28

Re,
tu ne m'as pas dit si j'avais bon car pas sûr de moi
et qu'appelles-tu changement de base ?

MERCI

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 05-01-21 à 22:39

re,
en refaisant tous mes calculs je trouve maintenant (en ayant corrigé l'erreur de b=c)
je trouve b=-12/23
a=-471/23
et c =-127/23

MERCI (là je vais me coucher, tu pourras me répondre demain matin si tu veux bien, bonne nuit)

Posté par
PLSVUre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 00:02

Bonsoir,
Encore des erreurs....

a=\dfrac{301}{23}  b=\dfrac{-12}{23}  c=\dfrac{-127}{23}

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 08:22

Bonjour,

Je reviens de faire les calculs... je trouve le dénominateur à 33 :

b-c=5 soit b=5-c

Je reporte sur la seconde ligne :

\\ a+b+3c=-4 \\ a+5-c+3c=-4 \\ a+2c=-9 \\ a=-2c-9 \\

Je reporte a et b sur la troisième ligne :

\\ 2a+30b+c=5 \\ 2(-2c-9)+30(5-c)+c=5 \\ -4c-18+150-30c+c=5 \\ -4c-30c+c=5+18-150 \\ -33c=-127 \\

On est d'accord ou pas ?

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 09:01

Bonjour
Lyceen : déjà pour la première ligne je ne suis pas d'accord
b-c=5  ok  donc b=5+c

PLSVU : peux-tu me mettre tes calculs

MERCI

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 09:03

Re,

PLSVU : ok je viens de refaire mes calculs et je retrouve comme toi dans le a.

MERCI

Posté par
lyceenre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 09:10

Je confirme ! j'avais mis b+c sur mon équation et non b-c...

Je viens de corriger et je trouve comme vous deux.

Bonne journée !

Posté par
Nelcarre : géométrie dans l'espace 06-01-21 à 09:15

Re,

ok

MERCI


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