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Géométrie dans l'espace
Bonjour,
Soit ABCDEFGH un pavé droit.
On note I le centre du rectangle ABCD.
Soit les vecteurs u=3AB, v=BD + BE, w=3AI + IE.
Montrer que les vecteurs u, v et w sont coplanaires.
J'ai la correction du prof mais je bute sur la compréhension de la fin.
Une méthode est d'exprimer tous les vecteurs dans le même repère par exemple AB, AD, AE
u = 3 AB
v = BD + BE = -AB+AD -AB +AE = -2AB + AD + AE
w= 3AI +IE = AB + AD + AE
Si les vecteurs sont coplanaire on a une ralation du type:
u = av + bw
3AB = a (2AB + AD + AE) + b (AB + AD + AE)
3AB = (-2 + b) AB + (a + b) AD + (a + b) AE
On résoud (-2 + b) AB + (a + b) AD + (a + b) AE = vecteur 0
soit le système:
-2a + b = 0
a + b = 0
a + b = 0
On en déduit a=-b et b=2a
Ensuite je suis perdu
le prof a trouvé a=-1 et b=1 mais je ne comprends pas comment.
Est-ce que je peux avoir une explication ?
Avec a=-1 et b=1 on a donc u = -v + w ce qui permet des déduire que les 3 vecteurs u, v et W sont coplanaires.
Bonjour,
J'aperçois des erreurs après " Si les vecteurs " , ici :
3AB = a(2AB + . . .
3AB = (- 2 + b)AB
Oui je me suis trompé dans la recopie mais on arrive toujours au même système d'équation et je ne sais pas comment le prof arrive à le résoudre:
3AB = a(-2AB + AD + AE) + b(AB + AD + AE)
3AB = (-2a+b) AB + (a+b) AD + (a+b) AE = vecteur 0
-2a + b = 0
a + b = 0
a + b = 0
On en déduit a=-b et b=2a
-2a + b = 0
a + b = 0
a + b = 0
On en déduit a=-b et b=2a
C'est ce que j'ai écrit sur mon cahier en notant la correction du prof.
On a bien 3AB = (-2a+b) AB + (a+b) AD + (a+b) AE = vecteur 0 ?
et on a bien (2a+b) AB ?
d'où -2a + b = 0 ?
J'ai recopié ce que j'ai pu sur le tableau. Je pensais que c'était une propriété pour que les vecteurs soit coplanaires.
Sinon à partir de 3AB = (-2a+b) AB + (a+b) AD + (a+b) AE
je peux écrire aussi le système d'équations:
3 = -2a + b
0 = a+b
0 = a+b
a=-b ou b =-a
3 = 2a -a soit a=3 et b=-3
mais ce n'est pas la correction que j'ai avec a=-1 et b=1
Je voudrais juste avoir la correction de cet exercice qui a été vu en cours pour préparer mon DS.
Mon prof va trop vite et je n'arrive pas à suivre. Il me manque certainement des morceaux sur ce que j'ai écrit sur le premier post.
Vraiment je ne suis pas doué pour le math:
3 = -2a + b
0 = a+b
soit a=-b ou b=-a
et 3 = -2a - a = -3a
soit a=-1 et b=1
En fait c'était simple si on oublie pas des signes en cours de route.
Donc on a v = -u + w, ce qui permet des déduire que les 3 vecteurs u, v et w sont coplanaires.
Merci pour l'aide.
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