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géométrie dans l'espace équations paramétriqes

Posté par
Philibert 06-12-08 à 12:05

Bonjour

j'ai du mal avec les équations paramétriques.

Soit 2 plans définis par leurs équations paramétriques respectives

\vec{OM} = \vec{OA} + a\vec{V_0} +  b\vec{V_2}

et \vec{OM} = \vec{OA} + c\vec{V_1} + d\vec{V_3}.

Ecrire l'équation paramétrique de leur droite commune.

Ce que j'ai établi :
la droite a une équation paramétrique de la forme :
\vec{OM} = \vec{OA} + k\vec{V}

car les deux plans passent par A, mais je ne sais pas comment la dérminer à partir des équations paramétriques des deux plans dt elle est l'intersection

Pouvez-vs m'aider svp   merci

Posté par
cailloux Correcteurre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 06-12-08 à 12:51

Bonjour,

Connais-tu le produit vectoriel ?

Posté par
Philibertre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 06-12-08 à 15:54

Pas très bien, mais on en a déja parlé pr des questions d'orthogonalité je crois.
Tu penses que ç peut êre une piste ??

Posté par
cailloux Correcteurre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 06-12-08 à 21:56

Plus qu' une piste:

Le produit vectoriel de 2 vecteurs \vec{u} et \vec{v} est un vecteur \vec{w} orthogonal à ces 2 vecteurs. (Pas seulement, mais pour ce qu' on a à faire, cela suffit).

On note \vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}.

Dans le cas qui nous occupe, ton vecteur directeur de la droite intersection: \vec{V} est un vecteur orthogonal à un vecteur normal au premier plan et à un vecteur normal au second;

Autrement dit \vec{V} est un vecteur normal à \vec{V_0}\wedge \vec{V_2} et à \vec{V_1}\wedge \vec{V_3}

Le vecteur \vec{V}= (\vec{V_0}\wedge \vec{V_2})\wedge(\vec{V_1}\wedge \vec{V_3}) convient.

Et on peut écrire:

\vec{OM}=\vec{OA}+k(\vec{V_0}\wedge \vec{V_2})\wedge(\vec{V_1}\wedge \vec{V_3})

qui est effectivement une équation paramétrique de la droite intersection (qui existe toujours quand les 2 plans de départ sont distincts)

Posté par
Philibertre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 07-12-08 à 15:43

Bonjour

Je te remercie pr tes explications qui m'ont convaincu.

C'es vrai que c'est un exercice d'approfondissmeent d'un cours de révision sur la géométrie vectorielle, mais ds ce cadre on a pas évoqué du tt le produit vectoriel.
Je vais donc répondre (sauf à ce que tu me dises que c'est une erreur) que l'équation paramétrique de la droite intersection des 2 plans est de type "standard de droite" soit
\vec{OM} = \vec{OA}+ k \vec{V}
avec \vec{V} est un vecteur orthogonal simultanément aux vecteurs
normaux du plan 1 et à ceux du plan 2 dt on a donné les équations paramétriques.

Qu'en penses-tu?
Merci de ton aide

Posté par
cailloux Correcteurre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 07-12-08 à 15:55

Oui, c' est exactement ça.

Au dessus je n' ai fait qu' exprimer un vecteur \vec{V} (directeur de la droite intersection ) en fonction des 4 autres vecteurs... mais il est colinéaire au tien

Posté par
Philibertre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 07-12-08 à 16:07

merci Cailloux, bonne fin de WE

Posté par
cailloux Correcteurre : géométrie dans l'espace équations paramétriqes 07-12-08 à 16:14

De rien Philibert et bonne fin de Dimanche à toi


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