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GEOMETRIE DANS L'ESPACE, exercice difficile !
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un aurait une petite idée sur le sujet suivant:
Une fourmi se déplace sur un morceau de sucre, représenté par un parallélépipède rectangle, dont les dimensions sont celles indiquées sur la photo.
On doit chercher le plus court chemin pour aller de A à B, le décrire puis l'évaluer.
Il serait logique de dire que le plus court chemin est une droite passant par A et B, sans faire aucun coutournement. Mais il m'est difficile de trouver comment calculer le segment [AB].
Un grand merci d'avance !
De plus on ne nous indique pas si le point B est au milieu de son segment ou non.
Voici la photo ci-jointe.
la procédure est ici--->
[lien]
dessine un patron du parallélépipède rectangle sur lequel tu marques les points A et B
puis traces le segment {AB] (voir figure jointe..)
tu n'as plus qu'à calculer AB
1- Avant tout peut-on affirmer que B est le milieu du segment, si ce n'est pas indiqué ?
2- Et je suppose qu'on utilise Pythagore, puisqu'à présent nous connaissons deux longueurs du triangle rectangle:
20/2= 10 mm
ainsi que 28+12=40 mm
Est-ce juste ?
3- Peut-on affirmer de suite que le triangle est rectangle ou faut-il le prouver ?
En tout cas, merci infiniment, je n'avais vraiment aucune idée pour résoudre cet exercice !
1- Avant tout peut-on affirmer que B est le milieu du segment, si ce n'est pas indiqué ?
on peut le supposer sinon on ne peut pas faire de calcul
2- Et je suppose qu'on utilise Pythagore, puisqu'à présent nous connaissons deux longueurs du triangle rectangle:
20/2= 10 mm
ainsi que 28+12=40 mm
Est-ce juste ? oui
3- Peut-on affirmer de suite que le triangle est rectangle ou faut-il le prouver ?
les faces d'un parallélépipède sont toutes des rectangles
En tout cas, merci infiniment, je n'avais vraiment aucune idée pour résoudre cet exercice !
Bonjour à tous,
tu en verrais un plus court Priam ? A part, passer à l'intérieur du parallélépipède, je ne vois pas. Parcourir un chemin sur le parallélépipède revient au même que de le parcourir sur le patron de celui-ci, donc le plus court chemin est la ligne droite. 
Oui, il n'y a pas de souci. Ce n'est pas un exercice difficile pour un prof, même s'il peut nous arriver de nous tromper. Mais pour t'en convaincre, prends une boite d'allumettes que tu sacrifieras pour la bonne cause.
Je viens de faire le patron, et je ne comprends pas vraiment, désolé de remettre votre parole en doute ^^. Mais le point A ne devrait-il pas être à l'intersection juste en dessous ?
Il s'avère que le raisonnement est incorrecte, en effet une fourmi ne peut pas passer à travers le sucre, elle est obliger de marcher sur les faces...
désolé de remettre votre parole en doute ^^.
ne sois pas désolé, cela prouve que tu réfléchis et que tu te poses des questions, d'une certaine façon mon but est de te faire réfléchir, je n'ai pas la prétention de détenir "la vérité", j'essaie seulement de te guider vers une solution...
si tu as fait le patron correctement tu dois voir que le point A, qui est un sommet du parallélépipède, se retrouve (comme tous les sommets, sur trois faces du patron, et par pliage on ertrouve un seul point de l'espace
le patron que j'ai fait n'est pas très précis mais j'espère que tu vois bien la situation (à la limite tu peut partir d'une boîte parallélépipédique que tu ouvre pour bien voir comment cela fonctionne)
je t'ai marqué la position de A sur les trois faces numérotées
le plus court chemin est soit le rouge, soit le vert....le calcul te le dira
Mais au final, ce raisonnement ne peut pas être correcte, non ? Puisque la fourmi ne peut malheureusement pas passer à travers le sucre et est obligé de passer sur les faces du sucre..
oui, tu as raison, la fourmi chemine sur les sucre et les chemins dessinés sur le patron sont bien dessinés sur le sucre, pour t'en rendre compte, découpe le patron avec les chemins dessinés, reconstitue le "sucre" et tu verras les chemins apparaître sur le sucre
Ah oui! C'est vrai je n'y avais pas pensé. Donc si je comprends bien, tout le raisonnement est juste et pour que le chemin soit plus court, il est préférable d'emprunter le chemin rouge que vous avez tracé et qui relie le point A' au B ?
je ne sais pas si c'est le rouge ou le vert, je n'ai pas fait les calculs nécessaires, à toi de les faire et de comparer les longueurs
En dépliant deux rectangles étroits ( le 2 et celui qui porte le point B) l''un au bout de l'autre, ce qui forme au total un long rectangle de 20 + 28 sur 12 mm, je crois que le trajet AB serait un peu plus court .....
Si je prend le triangle A'BE avec E milieu du segment opposé à E.
Alors je sais que A'BE est un triangle rectangle en E.
Je connais BE= 28mm et A'E=12+10mm = 22 mm
D'après le th. de Pythagore
Je conclus que BA'= 
1268
En revanche si je prend le triangle ABC avec C l'angle droit
Je connais AC= 28+12= 40 et CB= 10 mm
D'après le th de Pytha.
Je conclus que BA=1700
Par conséquent, il est préférable d'utliser le A'BE, non ? A moins que mes calculs soient faux.
J'ai parlé trop vite tout à l'heure ! En effet, plusieurs chemins possibles sur plusieurs patrons ! Priam, excuse-moi de ne pas avoir explorer ton idée première ! Cette fois-ci, je te suis ! Le problème n'est donc pas encore résolu ! 
Oui, celui que Priam indique sur un autre patron, mais sa longueur est plus longue que celui du rouge après vérification. Mais il convient donc de faire l'autre patron pour le prouver en examinant les trois cas.
Bonjour,
Il existe une infinité de chemins en ligne droite...
y compris certains passant par la face 2 de mon graphique... théoriquement posée sur la table.
On peut même imaginer aller de A à B en ligne droite en ne passant que par les faces 6, 5, 1, et 3 et en faisant plusieurs fois le tour du sucre par une spirale montant doucement avant d'atteindre le point B... comme le nombre de tours n'est pas limité, le nombre de chemins possibles est infini.
Mais, clairement, certains chemins sont beaucoup plus long que d'autres
oui, effectivement, il faudrait donc réaliser tous les patrons possibles, déterminer tous les chemins possibles et chercher le plus court.....
Bonsoir Rodival, il est clair qu'il y a une infinité de chemins en ligne droite, mais si on cherche le plus court, on restreint le nombre de faces traversées à deux et restent donc trois chemins possibles. Sur ton schéma, deux chemins ont la même longueur. Qu'en pesez-vous ?
Malgré tous ces chemins possibles, il me semble que le plus court reste celui proposé par Tilk_11 au début, soit le rouge.
@Rodolphe,
Oui, je suis d'accord... sauf de se limiter à n'étudier que deux faces :
Selon les cas de figure, l'emplacement des points de départ et d'arrivée, les dimensions du parallélépipède, il faut parfois considérer un chemin sur 3 faces.
Il est clair aussi que 4 faces est de trop dans tous les cas avec un solide a 6 faces.
@Mimioi,
Ici, comme les points sont sur des arêtes ou des coins, je pense que deux faces suffisent et que la solution rouge de Tilk_11 est la bonne... mais je n'ai aucun moyen d'en être sûr.
(et je ne sais même pas s'il en existe un 
)
(et si quelqu'un pouvait fournir un lien pour me contredire ou me rendre plus intelligent... j'en serais ravi )
La réponse est ici (je te conseille la solution 2 ou éventuellement la 3, mais pas la 1). Il s'agit du dernier exercice, le 6 :
http://bnjclerc.perso.neuf.fr/IMG/pdf/DS_espace_1011.pdf
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