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Geometrie dans l'espace-Section
Bonjour,
me voyant galérer avec les sections de cube et de tétraèdre; je me demandais s'il y avait une méthode pour sectionner un tétraèdre ABCD par exemple par un plan (IJK)?
merci d'avance
Bonjour,
pas de méthode "générale", ça dépend de I, J et K
enfin si : identifier des plans et des droites auxiliaires "qui vont bien", des droites et des points communs à ces plans auxilliaires et aux plans / arètes du tétraèdre etc...
on ne peut pas t'en dire plus : ça dépend trop de I, J et K.
(en d'autres termes si tu veux une aide précise, tu donnes ton énoncé précis, sinon ça restera "dans le flou")
d'accord 
je vais voir si je trouve un exemple précis et je le posterais, merci beaucoup de votre aide.
Voici un exemple ou je dois construire l'intersection du plan (IJK) avec la figure et je n'y comprends pas grand chose
on a déja deux "évidences" !!
le point I sur [CD] appartient à la droite (CD) donc au plan (ACD)
le point J sur [AD] appartient à la droite (AD) donc au plan (ACD)
la droite (IJ) appartient donc au plan (ACD) et cela donne un segment de l'intersection "directement" :
le segment [IJ] qui est l'intersection du plan (IJK) avec la face (ACD)
ou d'ailleurs de n'importe quel plan passant par I et J , donc contenant la droite (IJ), avec le plan (ACD)
il y en a une autre du même tabac.
Ensuite c'est plus compliqué.
On peut avoir par exemple l'idée de chercher l'intersection de la droite (IJ) avec le plan (ABC)
pourquoi ? c'est la seule droite qui soit dans un plan "déja tracé" (le plan (ACD)
la droite (JK) je n'en ai pas encore parlé, mais elle pourait elle aussi être utilisée 
mais pas pour l'intersection avec (ABC) ! (voir tes traits palots)
la droite (IK) est "en plein vide" on ne connait aucun autre plan qui contienne cette droite autre que le plan (IJK) et comme il n'y a pas grand chose de tracé dans ce plan ... on peut laisser tomber : aucun espoir.
donc on cherche l'intersection de la droite (IJ) avec quelque chose d'utile :
un plan ou une droite connue du tétraèdre, et qui donne quelque chose de nouveau qu'on n'a pas déja : ni le point I ni le point J.
pour cela on cherche
un plan qui contient (IJ) : facile on vient d'en parler
une droite de ce plan là qui soit aussi dans le plan (ABC)
à toi de poursuivre ... (sur une figure un peu moins "mal cadrée")
d'accord, merci pour toutes ces explications
Alors, un plan qui contient (Ij) est le plan (ACD) par exemple. Une droite de ce plan là contenant qui soit aussi dans (ABC) est (AC), mais ?
Ces deux droites (AC) et (IJ) sont dans un même plan (ACD). Sont elles parallèles ? donc elles se coupent en un point P.
si elles sont parallèles le raisonnement est un peu différent : le plan (IJK) serait alors parallèle à la droite (AC) et ce serait encore plus simple !!
et ce point appartient à la droite (IJ) (of course)
et à la droite (AC) donc au plan (ABC),
c'est donc l'intersection de (IJ) avec (ABC)
Connaissons nous maintenant des points communs au plan (IJK) et au plan (ABC) ?
on vient d'en obtenir un : le point P
en connait-on d'autres ? (un autre)
si oui, on a la droite d'intersection du plan (IJK) et du plan (ABC) : la droite qui passe par ces deux points là ! et hop.
cette droite ne serait-elle pas (JP) ?
Si je résume chercher à connaître l'intersection d'un plan et d'une figure, c'est chercher l'intersection du plan avec chaque face de la figure ? ou pas du tout ?
Car ici on a cherché l'intersection de (IJK) avec (ACD) puis de (IJK) avec (ABC)
la droite (JP) est la droite (IJ), et n'est pas dans (ABC) !!
cette réponse est donc .. sans commentaire.
on cherche des points dans (ABC) !
il y en a un (autre que P) qui est évident !
c'est là à mon avis ta "difficulté" à appréhender ce genre de problème, tu n'arrives pas du tout à voir que tel point est sur telle droite et telle droite dans tel plan, même quand le nom du plan contient le nom des points d'une droite !!
donc non, l'intersection de (IJK) avec (ABC) n'est pas (JP), pas du tout et aucun rapport.
c'est chercher l'intersection du plan avec chaque face de la figure
On a déja l'intersction avec la face (ACD) qu'on a simplement tracé directement : le segment [IJ] !
il y a une autre intersection évidente (rien à construire, qu'à tracer) que j'ai déja suggéré il y a "longtemps déja"
et maintenant on est en train de chercher l'intersection avec la face (ABC)
il restera ensuite l'intersection avec la face (BCD) mais ce sera pour plus tard (inutile et marche pas tant qu'on n'a pas l'intersection avec (ABC))
c'est là à mon avis ta "difficulté" à appréhender ce genre de problème,
Ah ! Et comment pallier à ce genre de difficultés ?
Je pense avoir trouvé, c'est le point K puisque K appartient à (IJK) et aussi à (ABC) puisque K appartient à (AB).
Ah oui donc je sais aussi que [JK] est l'intersection de (IJK) avec (ADB)
comment pallier à ce genre de difficultés
C'est une façon personnelle de voir une figure et donc ici de voir ce que représente cette figure en perspective, de la réalité dans l'espace.
Certains n'y arrivent jamais et ne voient de cette figure qu'un dessin à plat sur une feuille de papier et sans signification.
On peut au moins tenter de s'améliorer en "en mangeant" de ce genre d'exercices.
donc oui. K appartient à (IJK) (forcément c'est dans le nom du plan !!)
et à (ABC) puisque sur la droite (AB) qui elle aussi fait partie "du nom du plan" (ABC)
Au final on a donc deux points de l'intersection cherchée de (IJK) et de (ABC) : K et P
cette intersection est donc la droite (PK), droite du plan (ABC) en ce qui concerne la suite, à savoir la restriction à la face (ABC), puis l'intersection de cette droite (PK) et du dernier plan qui nous manque : le plan (BCD)
on en est là :
(j'ai rajouté le segment [JK] que tu as trouvé, intersection "triviale" de (IJK) et (ADB))
Plutôt rassurant ! J'espère que je ne fais pas partie de ces gens-là, bien que sûrement que si
Donc en fait, il nous reste à chercher l'intersection de (IJK) avec (BCD). Cela m'avance-t-il si je dis que I appartient à (CD) ? mais pour le reste ?
traces déja la restriction de la droite (PK) à l'intérieur de la face (ABC) .. pour l'instant on a l'intersection de (IJK) avec tout le plan infini (ABC).
De même que la restriction de la droite (IJ) au segment [IJ], il s'agit de faire pareil, mais dans la face (ABC)
le plan (BCD) "viendra tout seul" ensuite ...
un segment, juste un certain morceau de la droite entière, morceau qui est "à l'intérieur" du triangle ABC ...
c'est ça qu'on cherche à tracer : les segments délimités sur les faces du tétraèdre.
de même que l'intersection du plan (IJK) avec le plan (ACD) tous deux des plans infinis, est la droite entière infinie (IJ), et sa restriction à la face (ACD) est le segment [IJ] qui est "juste un morceau" de cette droite infinie, le morceau qui est "à l'intérieur" du triangle ACD.
donc tu as maintenant deux points de la face (BCD) et c'est fini ! (encore un truc maintenant trivial du genre de [IJ] cette face (BCD))
je ne te fais pas l'injure de ne pas l'avoir trouvé et ça donne donc l'ensemble de la construction et du tracé :
ce n'est pas la seule construction possible
On a commencé par la droite (IJ) (exprès, au vu des "traits palots de ta figure", justement pour ne pas les utiliser )
mais on aurait tout aussi bien pu commencer par la droite (JK) et ces fameux traits palots !
essaies de faire en entier cette autre méthode de construction (cela donne au final le même résultat bien sûr) quand tu auras un peu de temps.
(quand je disais "faut en manger" faut pas faire que ça non plus, laisser décanter avant de t'y remettre)
Ca commence comme ça :
les plans concernés ne sont pas les mêmes mais le raisonnement suit la même démarche.
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