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Géométrie de l'espace

Posté par
ZAYBXC 22-10-20 à 10:40

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur de la géométrie dans l'espace. Mais le problème c'est que ne le comprend pas du tout. pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Enoncé ;
ABCDEFGH est u cube d'arête de longueur . On construit à l'intérieur de ce cube une pyramide IABCD et à l'extérieur une pyramide JADHE, identique à la précédente, dont les faces triangulaires sont des triangles isocèles. On place le point K milieu de [AB].

Question ;
Déterminer la hauteur de la pyramide pour que les points K, I et J soient alignés.

pour moi vu qu'il faut trouver une hauteur afin de les points soient alignés, il faudrait donc monter que les vecteurs \vec{KI} et le vecteur \vec{IJ} soient colinéaires. Il doit donc avoir un réel b tel que \vec{KI}=b\vec{IJ}.  Mais je suis pas du tout sûr que ce soit juste

Pouvez-vous m'aider pour m'éclairer s'il vous plaît?
Merci d'avance

Géométrie de l\'espace

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 10:47

salut

et si tu travaillais dans le repère (C, CD, CB, CG)

les coordonnées de I sont ( ?, ? , h) où h est la hauteur de la pyramide (à déterminer) (les deux premières coordonnées sont immédiates et je te laisse les justifier)

de même tu peux déterminer les coordonnées de J

en écrivant alors une condition de colinéarité sur les vecteurs KI et KJ tu en déduiras une équation d'inconnue h ...

Posté par
ZAYBXCre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 11:07

I(1/2;1/2;h) car comme comme IABCD est une piramide avec ques des triangles isocèle alors le point I est situé au milieu de [CB ] et [CD]
J(3/2;1/2;1/2)
K(0;1/2;1)
Pour que les vecteur KI et IJ soit colinéaires il faut que \vec{KI}=b\vec{IJ}
\vec{KI}(1/2;0;h-1)
\vec{IJ}(1;0;1/2-h)

\frac{1}{2}*0=1*0
\frac{1}{2}*(2-h)=1*(h-1)
0*(h-1)=0*(2-h)

ET après je résous l'équation ?

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 11:31

une coordonnée de J est fausse

d'autre part il ne faut pas oublier que le côté du cube est a ...

même si on peut considérer que a est l'unité il ne faudra pas l'oublier dans la conclusion ...

et il faut aussi justifier dans une certaine mesure ces valeurs ...

Posté par
ZAYBXCre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 11:53

J(1+h;1/2;1/2)
Est ce que c'est ça ?

\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}-h)=(1+h-\frac{1}{2})*(1-h)
\frac{1}{4}-\frac{1}{2}h=1-h+h-h²-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}h

ok merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 11:56

oui c'est bon ...

après je ne sais pas ce que tu fais comme calcul ...

perso je considérerai les vecteurs KI et KJ et je traduirai le fait qu'ils sont colinéaires ...

Posté par
ZAYBXCre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 12:00

Moi j'avais pris les cordonnées des vecteur KI et IJ et apres j'ai fait les équations de colinéarité
Mais après dans ma conclusion, j'aurais trouvé par exemple h=3 et je devrais dire comme indiqué dans l'énoncé un coté du cube vaut a donc h vaut 3a ?

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 12:18

oui c'est cela ...

Posté par
ZAYBXCre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 12:26

Alors du coup j'ai refait mes calculs avec les vecteurs que vous m'avez proposée et je trouve h=\sqrt{\frac{5}{4}} ou -\sqrt{\frac{5}{4}}
donc la hauteur de la pyramide pour que les points K, I et J soient alignés il faut que h=\sqrt{\frac{5}{4}}a ou -\sqrt{\frac{5}{4}}a c'est ça?

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 12:30

certes mais bon que sais-tu de la mesure d'une hauteur ?

PS : je ne vérifie pas tes valeurs ... à moins que tu écrives proprement ce que tu fais pour les obtenir

Posté par
ZAYBXCre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 12:45

mes calculs
\vec{KI} (\frac{1}{2};0;1-h)    \vec{KJ}(1+h;0;\frac{-1}{2})
\frac{1}{2}*0=(1+h)*0 \\ 0*(1-h)=0*\frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2}*\frac{-1}{2}=(1+h)*(1-h) \\ \\ \frac{1}{2}*\frac{-1}{2}=(1+h)*(1-h)
\frac{-1}{4}=-h²+1 \\ \frac{-1}{4}-1= -h²
\frac{-1}{4}=1-h+h-h² \\ \frac{-5}{4}=-h² \\ h²=\frac{5}{4} \\ h=\sqrt{\frac{5}{4}} ou -\sqrt{\frac{5}{4}}

Je sais qu'une hauteur est perpendiculaire à la base avec L le milieu des diagonales du carré BADC donc que le triangles ILD est un triangle rectangle en L
** edit mathafou : balises tex corrigées **

Posté par
malou Webmasterre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 13:44

Bonjour
ZAYBXC, ce compte est à fermer, le multicompte étant strictement interdit
Quand cela sera fait, tu poursuivras avec ton compte habituel 456DEF
Mets moi un mail ( [lien]) lorsque tu as régularisé ta situation que je te redonne l'accès au site à travers le compte 456DEF

**situation régularisée**les échanges peuvent reprendre**

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 14:32

on sait que h=\frac{a}{\sqrt{2}}

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 14:32

ok ... même si tu te compliques bien la vie ...

les deux premières lignes ne nous intéressent guère (0 est multiple de tout nombre)

ensuite dès la cinquième ligne intéressante j'écris tout simplement h^2 - 5/4 = 0 que je factorise ( et je finis comme au collège) ... et je simplifie le résultat !!!

maintenant comme je l'ai dit que peut-on dire d'une hauteur ?

et pour la justification je dirai simplement que I appartient aux plans médiateurs des segments [CD] et [CB] ... (et idem pour J à adapter) par symétrie des pyramides ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 14:37

Bonjour,
calcul faux (erreur de signe en baladant de gauche à droite et de droite à gauche)
d'ailleurs cela voudrait dire que h > a ce qui ne tient pas debout (le sommet I serait au dessus du cube !)

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 14:40

mathafou @ 22-10-2020 à 14:37

Bonjour,
calcul faux (erreur de signe en baladant de gauche à droite et de droite à gauche)
d'ailleurs cela voudrait dire que h > a ce qui ne tient pas debout (le sommet I serait au dessus du cube !)

je ne trouve pas mon erreur de calcul

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 14:46

carpediem @ 22-10-2020 à 14:32

ok ... même si tu te compliques bien la vie ...

les deux premières lignes ne nous intéressent guère (0 est multiple de tout nombre)

ensuite dès la cinquième ligne intéressante j'écris tout simplement h^2 - 5/4 = 0 que je factorise ( et je finis comme au collège) ... et je simplifie le résultat !!!

maintenant comme je l'ai dit que peut-on dire d'une hauteur ?

et pour la justification je dirai simplement que I appartient aux plans médiateurs des segments [CD] et [CB] ... (et idem pour J à adapter) par symétrie des pyramides ...



Une hauteur est perpendiculaire à la base et qui passe par le sommet

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:01

"je ne trouve pas mon erreur de calcul"
en fait c'est les coordonnées qui sont fausses (celles de KI) par erreur de recopie :

22-10-20 à 11:07 : \; \vec{KI} (1/2; 0; h-1) est correct

22-10-20 à 12:45 : \; \vec{KI} (\frac{1}{2};0;1-h) faux

faut dire que avec tes "acrobaties" de calcul pour résoudre on pouvait s'y perdre et j'ai cru que l'erreur était dans ces acrobaties là

je te laisse corriger cette erreur d'inattention et carpediem poursuivre

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:03

en faite mais accrobatie sont du a un bug de mon ordi qui du coup a tout mélangé
merci

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:08

du coup en refaisant mes calculs je trouve à la fin h=-\sqrt{0,75 }

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:18

carpediem étant déconnecté :
h < 0 ça m'étonnerait
et écrire sous forme de fraction plutôt que sous forme décimale sera plus "parlant"

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:22

Je trouve que h²=\frac{-3}{4}
donc pour moi h=-\sqrt{\frac{3}{4}}

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:27

horreur !!!

peux-tu redonner correctement :

les vecteurs KI et KJ
la relation de colinéarité

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:32

KI(1/2;0;h-1)
KJ(1+h;0;-1/2)

relation de colinéarité :
1/2*0=(1+H)*0
1/2*-1/2=(1+h)*(h-1)
0*(h-1)=0*-1/2

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:40

les égalités avec des 0 sont sans intérêt !!!

maintenant peux-tu résoudre convenable la relation qui nous intéresse ?

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:44

1/2*-1/2=(1+h)*(h-1)
-1/4=h-1+h²-h
-1/4=-1+h²
-1/4+1=h²
3/4=h²
\sqrt{\frac{3}{4}}=h

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:46

ok ... mais il est dommage de ne pas connaitre les identités remarquables en terminale ...

et je rappelle que cette équation a deux solutions et qu'on n'en garde qu'une seule car .... ?

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:48

l'identité remarquable est (a-b)(a+b)=a²-b²
Et on garde que la valeur positive car une longueur ne peut pas être inferieur à 0

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:49

ha ben enfin !!!

ok alors ...

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 15:51

et du coup comment je fais apparaitre la longueur a?

Posté par
456DEFre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 16:15

Merci beaucoup pour tout votre aide et aussi merci d'avoir pris de votre temps pour me répondre. Vous m'avez beaucoup aidée. Encore merci et à bientôt

Posté par
carpediemre : Géométrie de l'espace 22-10-20 à 17:45

de rien

ensuite il suffit de multiplier tout par a puisque la figure est homothétique à celle où on prend a = 1 ...

Posté par
azertyuipore : Géométrie de l'espace 02-02-24 à 07:22

Bonjour,

456DEF @ 22-10-2020 à 15:32

KI(1/2;0;h-1)
KJ(1+h;0;-1/2)

relation de colinéarité :
1/2*0=(1+H)*0
1/2*-1/2=(1+h)*(h-1)
0*(h-1)=0*-1/2


Je ne comprends pas du tout cette relation de colinéarité.
Pour moi, il faut poser k réel tel que les 2 vecteurs sont colinéaires,
donc tels que  KI =kKJ
On résout donc le système :
L1 : k(1+h) = 1/2
L2 : 0 = 0, on peut retirer la ligne
L3 : (-1/2) k = h-1

Je suis bloqué sur ce système depuis deux jours, je ne vois pas comment le résoudre. Et surtout, je ne comprends pas la relation de colinéarité posée par 456DEF... Merci pour votre aide !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie de l'espace 02-02-24 à 08:00

Bonjour,
Pour son système, 456DEF a utilisé des déterminants.

Pour trouver h à partir du tien, il suffit d'éliminer k.
L3 k = -2(h-1)
Dans L1 : -2(h-1)(h+1) = 1/2
Ce qui donne \; h2 - 1 = ... .

Posté par
azertyuipore : Géométrie de l'espace 02-02-24 à 08:05

J'étais focus sur les combinaisons linéaires, j'avais oublié la substitution... merci

Par contre ma prof m'avais dit qu'il n'y avait pas de déterminant en 3d, ou en tout cas qu'il était beaucoup trop lourd à calculer pour s'en servir.... quelle est sa formule ? (j'imagine que ça doit venir des matrices, mais je ne fais pas maths expertes)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie de l'espace 02-02-24 à 08:27

Il y a des déterminants en n'importe quelle dimension.
On s'en servait beaucoup jusque dans le début des années 80 pour résoudre des systèmes (et aussi pour d'autres choses).
Peu adaptés à la programmation, ils ont été supplantés par la méthode du pivot de Gauss.
Si tu veux une formule, fais une recherche sur les déterminants 3*3.

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie de l'espace 02-02-24 à 09:57

Bonjour,
une remarque qui simplifie tous ces calculs et du coup il n'y a plus de discriminant déterminant 3d vu qu'on est en 2d !

en coupant la figure par le plan médiateur de GF, il est trivial que K, I et J appartiennent à ce plan et donc la figure plane en 2D :

Géométrie de l\'espace

il s'agit alors de démontrer la réciproque de
Un exercice et 14 méthodes
la réciproque de "si les triangles sont équilatéraux alors les points sont alignées "
étant
"si les points sont alignés, alors les triangles sont équilatéraux"

et ce en inversant l'une des nombreuses méthodes citées en lien...
(dont la méthode par colinéarité avec des coordonnées entre autres)


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