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géométrie de seconde
On veut démontrer que les trois médianes d'un triangle sont
concourantes, c'est à dire qu'elles se coupent au même
point.
A', B' et C' sont les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB]
d'un triangle ABC.
Les médianes (BB') et (CC') se coupent en un point G.
Soit D le symétrique de A par rapoort à G.
1 - Montrer que BGCD est un parallélogramme (utiliser le théorème de
la droite des milieux). Quel est son centre ?
2 - En déduire que la troisième médiane (AA') passe aussi par
le point G.
3 - Montrer que G est situé "aux deux tiers" de chaque médiane.
Merci d'avance de votre aide.
1) le théorème de la droite des milieus dit que quand on relie 2
milieux dans un triangle, cette droite est // au 3è coté.
Dans ADC, G milieu de [AD] et B' milieu de [AC] donc (GB')//(DC)
donc (BG)//(DC)
dans ABD on fait pareil et on trouve (CG)//(BD).
Un quadrilatère aynat ses cotés 2 à 2 // est un parallélogramme donc
bdcg est un parallélogramme.
a' milieu de [bc] donc a' milieu de bdcg.
2) Comme les diagoblaes se coupent en leurs milieux, a' milieux
de [gd]. Donc g appartient à (aa').
3)g milieu de [ad] donc ag=gd. or gd=2a'g (car a' milieu de
[gd])
donc ag=2a'g donc aa'=3a'g donc a'g=1/3 aa'
et
ag=2/3 aa'.
on fait un raisonnemlent analogue pour les autres médianes et c'est
gangné!!
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