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Géométrie : similitude directe et suite de points

Posté par Profil Fifaliana36 25-08-19 à 17:21

Bonjour.
Dans le plan orienté P,on considère un carré direct ABCD de centre O et AB=\sqrt3cm.
Soit : r la rotation de centre A et d'angle\frac{\pi }{2}
t la translation de vecteur\vec{AB}
et h l'homothétie de centre C et de rapport\frac{-\sqrt3}{3}
1)a) placer G=bar{(D,3),(C,-1)}
b) déterminer et construire les ensembles
()={MP/3MD2-MC2=0}
()={MP/\vec{MC}.\vec{MD}=0}
2) Soit r'=t o r.
a) montrer que r' est une rotation dont on précisera l'angle.
b) Déterminer r'(A) et r'(B). En déduire le centre de r'
3) soit S la transformation définie par S= t o r o h
a) vérifier que S est une similitude directe dont on précisera le rapport n et l'angle
b) Vérifier que S (C)=D.
c) On note I le centre de S. Montrer que I
()()
Placer I
4) Soit (An)n la suite de points définis par :
A0=C
An+1= S(An) , n), n

et (an)n la suite de nbes réels définie par : an= aire du triangle IAnAn+1.
a) montrer, que pour tout n, IAnAn+1 est un triangle rectangle en I, et que (\vec{A_nI},\vec{A_nA_{n+1}})=\frac{\pi }{6}+2k\pi,p.
b) placer les pts A0 jusqu'à A5
c) montrer que a_0=\frac{3\sqrt3}{8}\; et\; a_n=\frac{\sqrt3}{6}-(IA_n)^2
d) montrer que la suite(an)n est une suite géométrique et vérifier que :
limn+(a0+a1+...+an)=\frac{9\sqrt3}{16}
Unité d'aire= 1 cm2

Voilà ce que j'ai fait :
1) a)\vec{DG}=\frac{1}2{}\vec{CD}
b)
() est le cercle de centre G et de rayon 3/2.
() est le cercle de diamètre CD privé de C et D.
2) a) j'ai utilisé les propriétés du cours donc r' est une rotation d'angle/2
b) r'(A)=B et r'(B) = C
Donc O est le centre de r'
3) a) j'ai encore utilise les propriétés du cours
Et k=-3/3 et = /2
b) S(C)=D(IC,ID)=/2I() mais je ne sais pas comment monter que I() et pour la suite de points je ne sais pas comment faire.
J'aurais besoin d'aide svp.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 17:47

Bonjour,

Citation :
1) a)\vec{DG}=\frac{1}2{}\vec{CD}


Oui. Il faut le placer sur une figure.

Citation :
b)
   1 est le cercle de centre G et de rayon 3/2.
   2 est le cercle de diamètre CD privé de C et D.


\Gamma_1: un cercle de centre G, oui mais tu as commis une erreur sur le rayon.

\Gamma_2:  Pourquoi diable "privé des points C et D" ?
  

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 20:04

Pourquoi c'est pas privé de C et D?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 20:22

Mais pourquoi ça le serait ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 20:30

Et ben car(2) est l'ensemble des pts M tels que MC.MD=0 c à d (MC,MD)=/2+k. Or ce n'est pas possible pour M=C et M=D , ou bien quelque chose comme ça. Donc j'ai tort ?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 20:49

Si M=C, on a bien:

  \overrightarrow{CC}.\overrightarrow{CD}=0.

Et Si M=D, on a bien:

  \overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DD}=0

Non ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 21:03

Donc CC est perpendiculaire à CD?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 25-08-19 à 21:31

\overrightarrow{CC} c'est le vecteur nul: \overrightarrow{0}

Et le produit scalaire du vecteur nul avec un vecteur quelconque est nul!

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 26-08-19 à 07:35

D'accord alors2 est le cercle de diamètre CD.
Mais pour2, voilà ce que j'ai trouvé
En utilisant la fonction scalaire de Lebniz,
(M)=3MD2-MC2=0
Or
2MG2+(9/4)-(27/4)=0
2MG2=9/2
MG=3/2

Où est l'erreur ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 26-08-19 à 07:36

Désolé c'est1 le deuxième ensemble,

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 26-08-19 à 09:31

Citation :
Or (M)=2MG2+3GD2-GC2=0


C'est juste; c'est ensuite que ça se gâte.

2\,GM^2=GC^2-3GD^2

  GC=\dfrac{9}{2} et GD=\dfrac{3}{2}

  en sorte que 2\,GM^2=\dfrac{27}{2} puis GM=\cdots

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 26-08-19 à 10:42

Je pense qu'il y a des erreurs dans ton énoncé:

  

Citation :
c) montrer que a_0=\frac{3\sqrt3}{8}\; et\; a_n=\frac{\sqrt3}{6}-(IA_n)^2
d) montrer que la suite(an)n est une suite géométrique et vérifier que :
limn+(a0+a1+...+an)=\frac{9\sqrt3}{16}


J'ai obtenu a_0=\dfrac{9\sqrt{3}}{8}

  a_n=\dfrac{\sqrt{3}}{6}{\red\times}IA_n^2

  et la limite \dfrac{27\sqrt{3}}{16}

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 26-08-19 à 20:03

Ah bon ? et dire que c'est vraiment comme ca.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 08:11

Heu... je ne comprends pas ce que tu veux dire

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 13:49

Ce que je voulais dire, c'est que c'est bien a0=3√3/8 et an=√3/6-(IAn)² qui est écrit dans le sujet. Il n'y a sûrement pas d'erreur à moins qu'il n'y ait eu une faute de frappe dans le livre, ce qui reste assez improbable.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 14:45

Je suis désolé; j'ai pris au départ un carré de côté 3 et non de \sqrt{3}

Et donc les valeurs de ton énoncé pour a_0 et la limite sont justes.

Par contre, je persiste avec ceci:

  

Citation :
a_n=\dfrac{\sqrt{3}}{6}{\red\times}IA_n^2

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 17:57

Bon, nous y reviendrons plus tard.
Pour ce qui est des ensembles de points,
Si c'était\vec{MC}.\vec{MD}= NOMBRE
Alors comment faire ?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 19:50

Soit tu utilises le théorème de la médiane soit (ce qui revient au même) tu fais intervenir le milieu de [CD] avec la relation de Chasles.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 19:56

Et j'ai oublié de préciser que ta réponse au lieu \Gamma_1:

  

Citation :
GM=3/2


était juste (toujours mon erreur sur le côté du carré initial).

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 20:19

Oh franchement, j'ai passé deux heures à vérifier et à revérifier ma réponse sur 1 mais bon n'y revenont plus.

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 20:24

Citation :
tu fais intervenir le milieu de [CD] avec la relation de Chasles.

Doit I le centre de [CD].
Je l'introduit dans MC ou MD?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 20:44

Encore une fois désolé. L'erreur est humaine...

Citation :
Je l'introduis dans MC ou MD?


Les deux et tu développes.

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 22:13

(\vec{MI}+\vec{IC}).(\vec{MI}+\vec{ID})=nombre
Or \vec{IC}=-\vec{ID}
Et après je cale

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 27-08-19 à 23:29

(\vec{MI}+\vec{IC}).(\vec{MI}+\vec{ID})=\vec{MI}^2+\vec{MI}.\underbrace{(\vec{IC}+\vec{ID})}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{IC}.\vec{ID}}_{-\dfrac{\vec{CD}^2}{4}}

(\vec{MI}+\vec{IC}).(\vec{MI}+\vec{ID})=MI^2-\dfrac{CD^2}{4}

Si bien que:

\vec{MC}.\vec{MD}=k\iff IM^2=k+\dfrac{CD^2}{4}

Pour que les points M existent, il faut que le dernier membre soit positif ou nul.
Tout dépend de la valeur de k...

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 20:29

C'est compris, passons à ces suites de points maintenant
4)a) on a S a pour angle /2 or An+1=S(An) donc (IAn;IAn+1) = /2 donc IAnAn+1 est rectangle en I.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 20:45

En fait, 23h19 est la démonstration du théorème de la médiane:

Tu pourras regarder si tu veux.

Oui pour 4)a)

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 20:49

Merci

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:04

Pour démontrer que l'angle ((AnI;An+1I)=π/6+2kπ comment faire ?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:23

(\vec{IA_n},\vec{IA_{n+1}})=-\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]

Le triangle IA_nA_{n+1} est donc rectangle indirect et la mesure principale de (\vec{A_nI},\vec{A_nA_{n+1}}) est comprise entre 0 et \dfrac{\pi}{2} (n'hésite pas à faire un dessin). (\vec{A_nI},\vec{A_nA_{n+1}})=\widehat{A_n} +2k\pi   (l'angle géométrique \widehat{A_n})

De plus I_A_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}IA_n (le rapport de la similitude S)

   Donc en parlant d'angles géométriques, \tan\,\widehat{A_n}=\dfrac{IA_{n+1}}{IA_n}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} et \widehat{A_n}=\dfrac{\pi}{6}

  Du coup,  (\vec{A_nI},\vec{A_nA_{n+1}})=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi

Tout ceci est un peu filandreux mais j'ai voulu éviter les angles orientés...

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:29

Je croyais que c'était π/2 l'angle de S et non -π/2

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:41

Ah non:

  Un rapport de similitude est positif par définition.

  S=r'\circ h

r' est une rotation d'angle \dfrac{\pi}{2} donc une similitude directe de rapport 1 et d'angle \dfrac{\pi}{2}

h est une homothétie de rapport négatif donc une similitude directe de rapport +\dfrac{\sqrt{3}}{3} et d'angle \pi

S est donc une similitude directe de rapport +\dfrac{\sqrt{3}}{3} (le produit des rapports) et d'angle \dfrac{\pi}{2}+\pi\equiv -\dfrac{\pi}{2}\,\,[2\pi] (la somme des angles).

A retenir: Une homothétie de rapport k<0 est une similitude directe de rapport -k>0 et d'angle \pi

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:53

Bien reçu.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 28-08-19 à 21:59

Je pense qu'il est grand temps de poster un dessin...

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:03

Voilà d'abord la figure des deux ensembles

Géométrie : similitude directe et suite de points

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:04

Maintenant comment placer I centre de S ?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:08

Si tu as bien travaillé, tu sais en principe qu'il est inclus dans l'ensemble \Gamma_1\cap\Gamma_2

Cet ensemble ne comporte que deux points.

Il s'agit de choisir le bon!

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:12

I appartient à1 car (IC,ID)=-π/2
Maintenant comment monter qu'il appartient aussi à2?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:18

S est une similitude de rapport \dfrac{\sqrt{3}}{3} et S(C)=D

Donc ID=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,IC et ID^2=\dfrac{1}{3}\,IC^2

Autrement dit 3\,ID^2-IC^2=0

Vois-tu le lien avec \Gamma_2 maintenant ?

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:25

D'ailleurs c'est plutôt \Gamma_1 ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:34

Ah,bon merci.

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:36

Alors ce point I: celui du haut ou celui du bas ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:38

Du haut

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 16:40

Yesss!

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 18:17

4)b) voilà les points

Géométrie : similitude directe et suite de points

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 18:31

Bonjour,

il serait sans doute profitable de faire figurer les droites/segments AnAn+1
- vu qu'on en parle implicitement dans l'énoncé (en vecteurs)
- vu que c'est la méthode la plus expéditive et efficace de construire de façon précise et pas au pifomètre à main levée les points An eux même...

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 29-08-19 à 20:04

Ça ressemble à ce que j'avais obtenu:

  Géométrie : similitude directe et suite de points

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 30-08-19 à 20:46

4)a) on a
a_0=\frac{1}{2}(IC)(ID)
Avec IC=\frac{\sqrt{3}}{3}IC
Donc\frac{\sqrt{3}}{6}IC²
Or, IC=CD cos(/6)=3*3/2=3/2
Donc IC²=9/4

Ainsi, a0= \frac{\sqrt{3}\times9}{6\times4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}

_Oui, je pense aussi que ça devrait être\frac{\sqrt{3}}{6}\times(IA_n)²
défaut du sujet

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 30-08-19 à 20:57

4)d) (an) est une SG de raison 1/3
\lim_{+infini}(a_0+a_1+...+a_n)=\lim_{+infini}(a_0\frac{1-(\frac{1}{3})^{n+1}}{1-(1/3)}=\frac{3a_0}{2}=\frac{9\sqrt3}{16}

Posté par
lakere : Géométrie : similitude directe et suite de points 30-08-19 à 22:09

Très bien

Posté par Profil Fifaliana36re : Géométrie : similitude directe et suite de points 31-08-19 à 17:51

Merci

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