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géomètrie, vecteur

Posté par audrey77111 (invité) 26-12-04 à 23:09

l'espace est rapporté au repère (O,i,j,k). On considère  le tétraèdre  ABCD et les points L,M,K tels que, les vecteurs AL=1/2AB;  AK=1/2AC;  AM=1/2AD avec A(1,3,3) B(0,1,0) C(3,5-1) D(-2,5,1)

1) Calculer les coordonnées du point G tel que AG= 1/3(AB+AC+AD)  G ets-il un point du plan BCD?
2)Calculer les coordonnées du point H, centre de gravité du triangle KLM. Démontrer que AH=1/2AG
3)Le point Q est l'isobarycentre des quatres points ABCD, démontrer que OQ=1/4(OA+OB+OC+OD). En déduire les coordonnées du point Q. Démontrer que AP=3/4AG
4)Démontrer que les 4 points A,H,P,G sont alignés.

Pourriez vous m'aidez svp??

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 26-12-04 à 23:35

Salut audrey

1.
De l'égalité \vec{AG}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{AB}\;+\;\vec{AC}\;+\;\vec{AD})
tu déduis que :
-->  \large x_{\vec{AG}}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(x_{\vec{AB}}\;+\;x_{\vec{AC}}\;+\;x_{\vec{AD}})
et
-->  \large y_{\vec{AG}}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(y_{\vec{AB}}\;+\;y_{\vec{AC}}\;+\;y_{\vec{AD}})


Or x_{\vec{AG}}\;=\;x_G\;-\;x_A et y_{\vec{AG}}\;=\;y_G\;-\;y_A...

Je te laisse faire les calculs...
Donne nous ta réponse si tu veux vérifier tes résultats

2.
Pour les coordonnées de H, il faut savoir que le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre des trois sommets de ce triangle.
Donc ici, x_{H}\;=\;\frac{x_K\;+\;x_L\;+\;x_M}{3} et y_{H}\;=\;\frac{y_K\;+\;y_L\;+\;y_M}{3}

3.
Pour la question 3, il y a un théorème qui donne directement le résultat, mais visiblement, il s'agit ici de le redémontrer... donc, je te sonseille d'utiliser la relation de Chasles...
Je te laisse chercher un peu

@+
Emma

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 26-12-04 à 23:46

Bon, donc, dans la question 3, on te demande de démontrer que \vec{OQ}\;=\;\frac{1}{4}\;.\;(\vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD})
soit encore que 4\;.\;\vec{OQ}\;=\;\vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD}

Comme promis, j'utilise la relation de Chasles, en l'appliquant à chacun des vecteurs du second membre de l'égalité :
\vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD}\;=\;(\vec{OQ}\;+\;\vec{QA})\;+\;(\vec{OQ}\;+\;\vec{QB})\;+\;(\vec{OQ}\;+\;\vec{QC})\;+\;(\vec{OQ}\;+\;\vec{QD})

Donc, en enlevant les parenthèse, et en regroupant les vecteurs \vec{OQ},
\vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD}\;=\;4\;.\;\vec{OQ}\;+\;\vec{QA}\;+\;\vec{QB}\;+\;\vec{QC}\;+\;\vec{QD}

Or Q est l'isobarycentre des points A, B, C et D... donc \;\;\;\vec{QA}\;+\;\vec{QB}\;+\;\vec{QC}\;+\;\vec{QD}\;+\;\vec{0}

Par suite, \;\;\;\;\array{ccl $ \vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD} & = & 4\;.\;\vec{OQ}\;+\;\vec{0} \\ \vspace{5} \\ & = & 4\;.\;\vec{OQ}


On a donc bien (en divisant les deux membres de l'égalité par 4...) :
\Large \array {|c450| $ \hline \vspace{5} \\ \vec{OQ}\;=\;\frac{1}{4}\;.\;(\vec{OA}\;+\;\vec{OB}\;+\;\vec{OC}\;+\;\vec{OD}) \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

Posté par
elievalà propos des vecteurs ds l espace 27-12-04 à 17:20

bonjour
je n'ai jamais vu ça en cours alors je vais ss dte poser des questions bêtes mais tt pis. J'espère que qq'1 me répondra.D'avance merci.
Déjà je ne vois pas bien comment représenter des pts ds 1 repère 3D.Est ce que quelqu'1 pouriat me montrer 1 exemple juste avec 1 point.
Ensuite j'ai 1 question concernant la réponse d'Emma au 1)
Tu calcules les coordonnées (absisse et ordonnée) du vecteur AG. Or les points A et G ont 1 troisième coordonnée (z AG). Est ce qu'il faut aussi la calculer?
si x=absisse,comment appelle t'on z?
enfin pour les coordonnées de AG, j'ai trouvé -2/3 et 2/3 !?
Merci de votre aide!

Posté par audrey77111 (invité)re : géomètrie, vecteur 27-12-04 à 17:35

Bonjour,
Je peux répondre à ta question en faites en plus de x et y, on rajoute z, z remplace y; y remplace x et x est une diagonale. heu! je ne sais pas si tu vois!en faites c'est un repére dans l'espace, mais en seconde je n'avais pas fait ce genre de répère.

1)pour les coordonnées de AG je trouve (-2/3;2/3;-9/3), seulement comment déduire de cela les coordonnées de G.
2)Pour calculer les coordonnées de H, j'ai un problème car je ne connais pas les coordonnées des points K,L et M.
Et comment démontrer que AH=1/2AG
3)de OQ=1/4(OA+OB+OC+OD) comment déduire les coordonnées de Q. et démontrer que AP=3/4AG
4)Comment démontrer que les points A,H,P,G sont alignés?
Pourriez-vous m'aidez svp, merci?

  

Posté par
elievalré 27-12-04 à 17:39

ce n'est pas 1 pb de sde? Si non, ça me rassurerait!Est ce que les vecteurs en 3D sont au programme de sde? .)

Posté par
elievalup 27-12-04 à 22:11

Posté par DJ Bugger (invité)re : géomètrie, vecteur 27-12-04 à 22:29

je ne suis pas sur mais je crois que les vecteurs en 3D sont au programme de seconde
au fait z c'est la cote

Posté par wlk (invité)VECTEURS 27-12-04 à 22:36

slt,
Personnellement, je les ai étudiés en 2ème année de BEP.
Au fait elieval, où as- tu trouvé ton singe, il est vraiment sympa...

Posté par DJ Bugger (invité)re : géomètrie, vecteur 27-12-04 à 22:38

tape singe avec : devant et : derrière ca donne ça .
pour d'autres images vas sur [lien]

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 28-12-04 à 00:01

euh... en effet, elieval, bien vu : je n'avais pas réalisé que l'exercice était un exercice de l'espace
Mais tu l'avais deviné, avec la troisième coordonnée (la côte), les formules restent les mêmes...
Par exemple, de même que x_{\vec{AG}}\;=\;x_G\;-\;x_A et y_{\vec{AG}}\;=\;y_G\;-\;y_A, on a z_{\vec{AG}}\;=\;z_G\;-\;z_A

Il suffit donc de rajouter le troisième calcul manquant à chaque fois



Heureusement, audrey77111 l'avait réalisée (désolée quand même ...)
D'ailleurs, Audrey, tu poses plusieurs questions basées sur un même problème :

-------------------
--> 1) pour les coordonnées de AG je trouve (-2/3;2/3;-9/3), seulement comment déduire de cela les coordonnées de G.

Je suis d'accord avec tes calculs (remarque tout de même que la côte est : -9/3 = -3)
Et bien, pour les coordonnées de G, puisque x_{\vec{AG}}\;=\;x_G\;-\;x_A, c'est que x_G\;=\;x_{\vec{AG}}\;+\;x_A
--> connaissant x_{\vec{AG}} et x_A, tu peux donc calculer x_G
(et de même pour y_G et z_G)

-------------------
--> tu dis que tu ne connais pas les coordonnées de K, L et M... mais c'est exactement le même problème que le préccédent :
tu sais que \vec{AK}=\frac{1}{2}\vec{AC} -->
... tu calcules les coordonnées de \vec{AK} à partir de celles de A et C : x_{\vec{AK}}\;=\;\frac{1}{2}\;.\;(x_C\;-\;x_A) etc
... puis tu déduis celles de K : x_K\;=\;x_{\vec{AK}}\;+\;x_A etc...

-------------------
C'est encore la même chose pour ta 3e question : les coordonnées de Q se calculent de la même façon.
Quant au point P, je n'ai pas compris comment il était défini au départ... une mauvaise lecture de ma part ou un oubli de ton côté ?

-------------------
Pour la dernière question : Démontrer que les 4 points A,H,P,G sont alignés
je ne voudrais pas t'en dire trop... alors : juste un indice (avec des points quelconques, hors de l'exercice):
Si les vecteurs \vec{IJ} et \vec{IK} sont colinéraires, alors les points I, J et K sont alignés...

Je te laisse déjà voir avec ça

@+

Emma

Posté par
elievaloui wlk 28-12-04 à 08:40

je l'adore ce singe;il est bcp + sympa que le "up"
à propos des vecteurs ds l'espace, si 1 prof pvait me dire s'ils st au pgme de sde, ce serait hyper sympa. Merci à vous tous .)

Posté par audrey77111 (invité)re : géomètrie, vecteur 28-12-04 à 20:40

Bonjour,
merci pour tout mais il y a quelque question que je n'ai pu résoudre
*Est ce que G est un point du plan BCD?
*Comment démontrer que AP=3/4AG, mais nous n'avons aucune indications sur P.
*Comment démontrer que les points A,H,P,G sont alignés?
Merci

Posté par audrey77111 (invité)re : géomètrie, vecteur 29-12-04 à 10:57

Bonjour,
Est ce que qqn pouurait m'aider svp

Posté par
ma_corre géométrie, vecteur 29-12-04 à 11:17

Bonjour audrey77111.
Il manque quelque chose à ton énoncé car tu parles du point Q, puis de déduire une relation avec le point P.
Est-ce que P est Q?

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 29-12-04 à 11:18

Bonjour Audrey

Par définition de G, \vec{AG}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{AB}\;+\;\vec{AC}\;+\;\vec{AD})
A priori, aucune raison que G appartienne au plan (BCD), car le point A n'appartient pas à ce plan...
Mais, il n'y a pas de raison non plus que G n'appartienne pas à (BCD)...
Le problème, c'est qu'on a une égalité qui concerne le vecteur \vec{AG}, alors que A (BCD) : c'est pour cela qu'on ne peut pas conclure...

Par la relation de Chasles, on va donc plutôt faire apparaître une égalité concernant un vecteur dont l'origine n'est plus A mais un point de (BCD)... par exemple, le point B.

Et nous allons essayer d'exprimer ce vecteur \vec{BG} en fonction d'un maximum de vecteurs reliant des points du plan (BCD)

--> si \vec{BG} peut s'exprimer uniquement en fonction de vecteurs construits à partir de points de (BCD), alors on pourra conclure que le point G appartient à (BCD) (le fait que B   (BCD) est primordial ici)
--> sinon, c'est soit qu'on n'a pas exploité la relation de Chalses au maximum, soit que G (BCD)

Bon, le mieux, c'est de voir la méthode en images...
------------

Par définition de G, \vec{AG}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{AB}\;+\;\vec{AC}\;+\;\vec{AD})
Donc \vec{AB}\;+\;\vec{BG}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{AB}\;+\;\vec{AB}\;+\;\vec{BC}\;+\;\vec{AB}\;+\;\vec{BD})
c'est-à-dire \vec{AB}\;+\;\vec{BG}\;=\;\vec{AB}\;+\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{BC}\;+\;\vec{BD})

Finalement, \vec{BG}\;=\;\frac{1}{3}\;.\;(\vec{BC}\;+\;\vec{BD})

Ainsi, le vecteur \vec{BG} est un vecteur colinéraire au vecteur \vec{BC}\;+\;\vec{BD}.
Or B (BCD), c (BCD) et D (BCD).
Donc le vecteur \vec{BC}\;+\;\vec{BD} est un vecteur reliant deux points de (BCD).
Il en est forcément de même de tout vecteur qui lui est colinéaire...

En conclusion : le point G appartient bel et bien au plan (BCD)
------------------

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 29-12-04 à 11:21

Oui, pour le point P, je pensais également à une erreur de ce type : il se pourrait très bien en réalité que la question 3 soit en fait "Le point Q est l'isobarycentre des quatres points ABCD, démontrer que OQ=1/4(OA+OB+OC+OD). En déduire les coordonnées du point Q. Démontrer que AQ=3/4AG"

Mais je n'ai pas vérifié si ça marchait...

Il faudrait que tu fasses rapidement les calculs... si tu trouves bien \vec{AQ}\;=\;\frac{3}{4}\vec{AG}, tu pourrais raisonnablement penser que c'est le bon énoncé

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 29-12-04 à 11:23

Et pour la dernière question, je t'avais donné un indice :

Si les vecteurs \vec{IJ}, \vec{IK} et \vec{IL} sont colinéraires, alors les points I, J, K et L sont alignés...

Déjà, es-tu d'accord avec cette propriété ?

Si oui, qu'est-ce qui t'a gênée ?

Posté par audrey77111 (invité)re : géomètrie, vecteur 31-12-04 à 11:56

Bonjour,

Oui je suis daccord avec cette propriétè mais  comment démontrer que les vecteurs sont colinéaires?

Et merci beaucoup pour les explications des questions précèdentes

Posté par kimkim (invité)re : géomètrie, vecteur 31-12-04 à 15:35

Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment démontrer que des vecteurs sont colinèaires, comme ds l'exxercice ci-dessus, merci beaucoup

Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 01-01-05 à 22:35

En réalité, on dit que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel \lambda tel que \large \;\;\vec{u}\;=\;\lambda\;.\;\vec{v}\;\; ou si \large \;\vec{v}\;=\;\vec{0}


Ici, d'après la quesiton 2. \large \;\;\vec{AH}\;=\;\frac{1}{2}\;.\;\vec{AG}\;\;
Donc les vecteurs \vec{AH} et \vec{AG} sont colinéaires ; et donc les points A, G et H sont alignés (sur la droite (AG) )...

Reste à démontrer que lepoint P appartient également à la droite (AG).
Mais, d'après la question 3. \large \;\;\vec{AP}\;=\;\frac{3}{4}\;.\;\vec{AG}\;\;
D'où le résultat

@+
Emma

Posté par kimkim (invité)re : géomètrie, vecteur 02-01-05 à 15:22

Merci beaucoup

Posté par audrey77111 (invité)il manque 2 questions à mon ex, pour demain 09-01-05 à 15:55

Bonjour,
J'ai un exercice de dm à rendre et je n'y arrive pas à quelques questions, pourriez vous m'aidez svp.

Nous sommes dans l'espace avec comme repère (O,i,j,k).
On a un tétrèdre ABCD et K,L,M.
Les coordonnées sont les suivantes: A(1,3,3); B(0,1,0); C(3,5,-1); D(-2,5,1); M(-1/2,4,2); L(1/2,2,3/2); K(2,4,1)

1/On devait calculer les coordonnées de G d'après AG=1/3(AB+AC+AD): j'ai trouvé G((1/3,11/3,0)
2/On devait calculer els coordonnées du point H centre de gravité du triangle KLM: Jai trouvé H(2/3,10/3,3/2). Mais je n'ai pas su démontrer que AH=1/2AG.
3/le point Q est isobarycentre de ABCD il fallait démontrer que OQ=1/4(OA+OB+OC+OD) et trover les coordonnées de Q , j'ai trouvé pour les 2, pour Q(1/2,7/2,3/4), mais je n'ai pas su démontrer que AQ=3/4AG
4/Et je n'ai pas su démontrer que A,H,Q,G étaient alignés
merci de votre aide  
  

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Posté par Emma (invité)re : géomètrie, vecteur 09-01-05 à 16:03



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