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Géométrie vectorielle dans l'espace à 3 dimensions
Bonjour,
J'ai un petit problème à résoudre et j'aimerai vérifier mes réponses. Pouvez-vous m'aider pour les questions 7 et 8 car je ne vois pas très comment il faut procéder.( Je ne suis pas championne en math !)
Merci
Soit un repère orthonormé (O, 1x, 1y,1z) les points suivants : A(0,-2,4) B(-1,0,3) et C(-2,1,1)
1) Déterminer les coordonnées de D(4,x, 2-y) sachant que les points A, C et D sont alignés.
2) Déterminer les coordonnées du point E pour que ACEB soit un parallélogramme.
3) Calculer la surface du triangle ADE.
4) Calculer les coordonnées du point G, le centre de gravité du triangle CDE.
5) Calculer les le réel z pour que les points A,B,C et F(1,2,z-1) soient coplanaires.
6) Calculer les coordonnées du point H sachant que A est le centre de gravité du tétraèdre DEFH
7) Déterminer les composantes d'un vecteur perpendiculaires au plan ACH
8) Calculer l'angle aigu entre les droites DE et EF.
Voici mes réponses .
1) vecteur AD = k. vecteur AC.
(4,x+2,2-y-4) = k * (-2,3,-3)
-2K =4 => K = +4/-2 = -2 => K = -2
3k = (x+2) 3K = x+2 -6 = x+2
-3k = -y-2 3K-2 = x x = -8
-3k+2 = -y y = +3k -2
y = -6-2
y = -8
=> D a pour coordonnées (4,-8,10)
2) E(x1,y1,2) B(-1,0,3)
vecteur ac = vecteur EB
(-2,3,-3) = (-1-x; -y;3-2)
-1-x = -2 => x=1
-y = 3 y =-3
3-z=-3 z=6
=> E a pour coordonnées (-1;-3;6)
3) Surface ADE = 1/2 de la surface de ADEF où D a pour coordonnées (4,-8,10) et E les coordonnées (1,-3,6)
vecteur AD (-4,-10,6)
vecteur AF (x,y+2,z-4)
vecteur DE = vecteur AF
Surface ADE = rac((18*18)+(30*30)+(3*3))/2 = 17,6 m2
4) CDE(-2,1,1) D(-4,-8,10) E(1,-3,6) => g(-5,-10,17)
5) A,B,C et F sont coplanaires
F(1,2,z-1)
vecteur AF = k * (-1,2,-1) + r(-3, 1,-2)
vecteur AF = (1-0;2-(-2);z-1-4)
vecteur AF = (1,4,z-5) = k (-1;2;-1) + r * (-3,1,-2)
comment on calcule z?
Pouvez-vous vérifier déjà ces réponses et me donner des pistes pour résoudre les points 6,7,8 que je n'arrive pas à faire.
Merci d'avance pour votre aide.
hop un petit saut dans le forum
dommage que cela n'inspire personne !
je fais quand meme encore un petit saut dans le forum on ne sait jamais......
soyons optimiste : quelqu'un va bien voir mon message et vérifier mes réponses Merci d'avance
Bonjour,
Les coordonnées de sont bonnes.
Par contre, pour que soit un parallélogramme, il faut que
ce qui donne
Du coup, 3) et 4)...
Pour la 5) on doit trouver et
tels que:
(
non alignés)
Les 2 premières équations donnent et
que l' on remplace dans la troisième pour obtenir
C' est un début...
Ok,
a) c'est donc correct D a comme valeurs (4,-8,10)
b) En effet, tu as raison. J'ai pris le vectuer dans le mauvais sens. J'ai pris le vecteur EB au lieu du vecteur BE.
Je retrouve donc la même valeur que toi à savoir que E a pour coordonnées ( -3,3,0)
car ((-2-0;1-(-2);(1-4)) = (+x-(-1); y;z-3)
(-2;3,-3) = (x+1;y;z-3)
=> x+1 = -2 => x= -3
=> y = 3 => y = 3
=> z-3 = -3 => z = 0
=> E a pour coordonnées (-3,3,0)
c) calculer la surface du triangle ADE Surface ADE = 1/2 de la surface de ADEF où
A(0,-2,4)
D(4,-8,10)
E(-3,3,0)
vecteur AD (-4,-10,6)
vecteur AF (x,y+2,z-4)
vecteur DE = vecteur AF
Pouvez-vous m'aider pour les autres points svp, je suis un petit peu perdue.
Merci de votre aide
Re,
Je ne comprends pas trop ce que tu fais pour le 3).
Une solution:
Soit la projection orthogonale de
sur
On a
Calcul des coordonnées de :
est l' intersection du plan
perpendiculaire à
) passant par
est un vecteur directeur de
Equation de :
soit
Equation paramétrique de :
Les coordonnées de vérifient le système:
dont la solution en est
et
On en déduit et on a
d' où :
4)
6) On a
et les mêmes équations en et
On obtient
7)
Avec
qui donne le système
et
8) Tu peux calculer et en déduire l' angle aigu des droites
et
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