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Gros problème 
merci si vous avez un peu de temps
L'objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie
sur [0;+oo[ par :
g (t)= (1-e^-t)/t si t >0 et g(0)=1
1. a) établir que g est continue en 0
b) déterminer la limite de g en +oo
2.a)Pour tout t>0, calculer g'(t)
b) Prouver que pour tout t>=0 , 1+t<=e^t
c) en déduite le signe de g' et le sens de variation de g (on ne
demande pas de construire la courbe représentative de g)
3.On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet,
on introduit la fonction h définie sur [0;+oo[ par :
h(t)= 1-t +(t²/2) - e^-t
a) calculer h' et h", ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0)
b) prouver que pout tout t>= 0
0<=h(t)<= t^3/6
pour cela, on établiera d'abord que 0<=h"(t)<=t, et on en déduira
un encadrement de h' puis de h
c) déduite de la relation 1) un encadrement de (1-e^-t -t)/t²
Prouver finalement que g est dérivabe en 0 et que g'(0)= -1/2
----------------------------------------
pr le 1) a) j'ai dit que vu que g(0)=1 alor c une fonction continue
( théoréme de mon cours)
pr 1) b) j'ai lim (x->+oo) g(t)=0
pr 2 a) j'ai trouvé comme dérivé :
g' (t) = [( 1/e^t)*t - 1(1-(1/e^t))]/ t² = [ (t/e^t)- 1+ (1/e^t)]
/ t² = [t+(1/e^t) - 1 ] / t²
me voici donc bloquer
quelqu'un pourrait m'aider ??
je vous en remercie
X Men
merci si vous avez un peu de temps Salut,
1)a)
desole de te contrdire mais g(0)=1 ca suffit pas.
C vrai mais la clé c'est surtout de demontrer que g(t) tend vers
cette valeur 1 quand t tends vers 0 !!!
En effet on a une fonction g(t) qui n'existe pas en 0 ppuisqu'on
divise par t et on choisit arbitrairement de dire g(O)=1 alors il
faut verifier pour qu'il y ait continuite que cette valeur est
dans le "prolongement" de la fonction:
il faut montrer que g(t) tends vers 1 si t tends vers 0,
je te laisse faire
b) en +inf
e(-t) tends vers 0 donc g(t) tends vers 0.
2)a)exact g'(t) est bon attention au parentheses tout de meme c :
(t+1)/e(t)-1 le numerateur !!
b) on veut 1+t<=e(t)
pour cela on etidie la fonction v(x)=1+t-e(t)
v'=1-e(t)
pour t>0 e(t)>1 donc v' negatif donc v decroit
en 0 v(0)=0 comme v decroiot on a alors v<o pour rtout t >0
c a dire 1+t-e(t)<0 ou alors 1+t<=e(t) ce qu'on voulait !!!
c) on a 1+t<e(t) donc
(1+t)/e(t)<1 donc g' negatif g decroit
3)a)
h'=-1+t+e(-t)
h''=1-e(-t)
h(0)=0
h'(0)=0
b)
pour t > 0 on a h''>=0 (evident)
et d'apres b) on a h"<t (si on veut le redemontrer on utilise
la fonction h"-t et on derive pour montrer que c toujours neg
....
0<h"(t)<t
on integre entre O et t:
0<h'(t)<t²/2
et encore une fois
0<h(t)<t^3/6
c)
0<h(t)<t^3/6
c a dire:
0<1-t+t²/2-e(-t)<t^3/6
soit
0-t²/2<1-t-e(-t)<t^3/6-t²/2
on divise par t²:
0-1/2<(1-e(-t)-t)/t²<t/6-1/2
si on regarde bien on a encadré:
g(t)-g(0) / (t-O) c a dire la defintion de la derivée
donc c ette deriivée existe en O et elle vaut si on fait tendre t vers
O:
-1/2 < g'(O) < -1/2 elle vaut donc -1/2
Bon j'ai rédigé comme un chien mais tu as la piste générale a suivre
pour comprendre l'exo!
verifie surement mes calculs...
A+
merci si vous avez un peu de temps Oki
Je te remercie beaucoup !!!
+
merci si vous avez un peu de tempsBonjour,
Mon professeur m'a donné le même sujet et je dois avouer que les pistes de travail de Guillaume m'ont bien aidée.
Seul problème à la question 3.b) lorsque l'on doit encadrer h", j'arrive à montrer que 0<=h" mais je ne comprend pas comment on arrive à montrer que h"<=t
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance
merci si vous avez un peu de tempsBon alors j'ai un peu avancé mais j'aimerai avoir confirmation de ma démonstration.
D'après 2.b on a
1-exp(t)<=0 donc exp(-t)-1<=0 soit 1-exp(-t)>=0
or 0<=t
Donc 0<=h"(t)<=t.
Est ce que ça vous parait bien ?
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