Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Groupe des éléments inversibles dans Z/nZ
Posté par mat-thieu
Bonjour tout le monde !
Quelqu'un peut-il me décrire clairement par exemple, le groupe (Z/20Z)* svp ?
Merci !
Bonjour,
Qu'entends-tu par "clairement" ?
Il y a 20 éléments dans ce groupe, on les appelle des classes :
- la classe des entiers divisibles par 20
- la classe des entiers dont le reste de la division par 20 vaut 1
- la classe des entiers dont le reste de la division par 20 vaut 2
...
- la classe des entiers dont le reste de la division par 20 vaut 19
Toutes ces classes sont disjointes, et leur réunion est égale à 
Donc en fait c'est un groupe de classes ?
18 n'est pas dedans ? (18 n'étant pas premier avec 20)
mais 19 ou 9 par exemple, si ?
Oui, exactement! Si tu veux comprendre, prends-les un à un et cherche l'inverse... (dinc plutôt deux à deux...)
18 ne peut pas être inversible parce que
Bonjour,
Aucun pair n'est dedans, il faut aussi enlever les multiples de 5 . Il reste 1,3,7,9,11,13,17,19 ,
en général on note le cardinal des inversibles modulo n,
maintenant ça ne suffit pas pour caractériser le groupe : 8 éléments et commutatif , je te laisse décider si c'est pareil que Z/8Z, Z/4Zx Z/2Z ou bien (Z/2Z)3
Pour (Z/8Z)*, il y a 
(8)=4 éléments.
Ces 4 éléments sont 1,3,5 et 7 (tous les impairs, logique)
Pour 3 par exemple, son inverse, c'est 1 ? (3²=1[8])
Pour (Z/4Z x Z/2Z)*, il faut surement utiliser le théorème chinois...
c=a[2]
c=b[4]
On remarque aussi que Z/4Z est inclus dans Z/2Z.
Comme je n'ai pas beaucoup de temps (je dois partir là), je regarderai ça de plus près ce soir.
En tous cas merci pour vos explications, c'est déjà ça !
Tu confonds... lolo te demandait si le groupe qui a huit éléments est isomorphe à l'un des groupes additifs qu'il te cite!
Bonsoir,
Je me permets de reprendre ce fil car il y a une question que j'aurais voulu éclaircir :
on dit au début que dans le groupe il y a 20 éléments, puis il est dit que le nombre d'éléments de
est 8, le nombre que fournit l'indicatrice d'Euler.
J'avais compris jusqu'ici que le groupe était le groupe des inversibles de
, et que ces deux groupes n'étaient donc pas les mêmes. Non ?
Bonjour,
Je relance car cette question me tient à coeur. Je la reformule :
Faut-il considérer les ensembles et
comme identiques ?
Le groupe est le groupe multiplicatif d'ordre 20, non ?
Salut,
Non, attention aux confusions !
est le quotient de Z par son idéal 20Z.
est le groupe des inversibles de l'anneau
. Comme expliqué plus haut, il est d'ordre 8.
En particulier ici est un anneau alors que sur
on ne voit que la structure de groupe (qui est la multiplication sur
).