Niveau Reprise d'études

Groupe multiplicatif d'un corps fini

Posté par
Milka3 05-02-23 à 10:56

Bonjour,
dans un exercice, je dois démontrer qu'un groupe fini admet un élément d'ordre m, le ppcm des ordres des éléments de ce groupe.

Dans cet exercice, on note $m=p_1^{a_1}...p_d^{a_d}$ la décomposition en facteurs premiers de cet élément.

J'ai montré qu'il existe un élément dans G d'ordre $p_i^{a_i}$ , pour tout i.

La méthode consiste alors à regarde l'élément $x=x_1...x_d$ .
-> J'arrive à montrer que $x^m=e$ .
-> Le point sur lequel je bloque est le suivant : je suppose que que $x^k=e$ avec $k<m$ . Et je dois aboutir à une contradiction.

Dans ma correction, il est écrit :
Vu que k<m alors il existe un i tel que $p_i^{a_i}$ ne divise pas k. Donc k divise $q=p_1^{a_1}...p_{i-1}^{a_{i-1}}p_i^{a_i-1}p_{i+1}^{a_{i+1}}...p_{d}^{a_{d}}$ .

Le reste s'en découle. Mais c'est le point sur lequel je but depuis hier : pourquoi k divise q ?
Pouvez-vous m'aider ?
N'hésiter pas à me dire si mon énoncé manque de détails.
Merci bcp !

Posté par re : Groupe multiplicatif d'un corps fini 05-02-23 à 12:00

Bonjour,
D'abord, ton groupe est-il abélien ?
Ensuite, tu supposes que $k$ est l'ordre de $x$ , n'est-ce pas ? Alors $k$ divise $m$ . Et s'il est strictement plus petit que $m$ ....

Posté par re : Groupe multiplicatif d'un corps fini 05-02-23 à 12:17

Oui, pardon, G est abélien.
Non. Je veux montrer que $o(x)=m$ .
Je procède en deux étapes :
1. Je montrer que $x^m=e$ . Et donc $o(x)\le m$ .
2. Je montre que si $k<m$ alors $x^k\neq e$ . Et donc $o(x)=m$ .

Posté par re : Groupe multiplicatif d'un corps fini 05-02-23 à 12:27

Je sais bien que tu veux montrer $o(x)=m$ . Ce que je te dis, c'est qu'il est alors naturel de procéder ainsi : soit $k$ l'ordre de $x$ . On sait que $k$ divise $m$ puisque $x^m=e$ . On suppose que $k<m$ . Alors il existe un $i$ tel que $k$ divise $m/p_i$ . C'est sans aucun doute ce que fait ton corrigé. Relis-le bien.