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Groupe normal

Posté par
Fractal 03-02-20 à 12:08

Bonjour à tous,

Quelqu'un serait-il en mesure s'il vous plaît de me démystifier la notion de groupe normal ?
(Je vais écrire avec « mes mots à moi  »)

J'ai un groupe G.
J'ai un sous groupe de G nommé H.
Donc H est dit normal (dans G) si :
quand je prends n'importe quel x de G
il peut se « combiner » avec n'importe quel h de H
de telle sorte que xhx^{-1}\in H (j'ai cru aussi comprendre que ça marchait dans les deux sens),
donc en quelque sorte que « le produit fini » appartienne à H.

C'est bien cela ?

Si tel est le cas, je comprends pas (ne perçois pas) l'intérêt  du « truc ».

Vous remerciant de me mettre le cas échéant sur la voie.

Posté par
jsvdbre : Groupe normal 03-02-20 à 12:29

Salut,
l'intérêt, c'est de pouvoir parler du quotient G/H.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 12:33

Merci.
Bon, me voilà bien avancé, je ne sais pas ce qu'est G/H.

Posté par
luzakre : Groupe normal 03-02-20 à 12:52

Bonjour !
As-tu étudié la notion de classe selon un sous-groupe ? celle de groupe quotient ?

Si tu vois ce que sont ces choses, un sous-groupe normal (ou distingué) permet de multiplier les classes selon ce sous-groupe.

Quand le sous-groupe H n'est pas normal, en multipliant un élément de xH (classe de x) avec un élément de yH on n'est pas certain d'obtenir un élément de xyH (classe de xy). Autrement dit on ne peut pas définir une loi de composition (issue de celle du groupe initial) sur les classes.

Quand  H est un sous groupe normal, si tu prends deux représentants x,u de la classe xH, deux représentants y,v de la classe yH alors les classes xyH,\;uvH sont égales.
Tu as ainsi la possibilité de multiplier les classes xH,\,yH en prenant la classe de xy.

Au cas où tu ne saurais pas le faire :
xH=uH\implies x^{-1}u\in H,\;yH=vH\implies y^{-1}v\in H.
Ensuite (xy)^{-1}uv=y^{-1}x^{-1}uv=y^{-1}(x^{-1}u)y(y^{-1}v)=\bigl(y^{-1}(x^{-1}u)y\bigr) (y^{-1}v)\in H puisque tu as le produit de 2 éléments de H.
Et il en résulte (xy)H=(uv)H.

Posté par
carpediemre : Groupe normal 03-02-20 à 13:02

salut

pourtant tu l'as vu ... avec les relations d'équivalence

ce n'est pas tant de parler du quotient mais du groupe quotient

G/H est un ensemble qui existe quel que soit le groupe H ...

mais si H est normal dans G alors on peut en faire un groupe

mais pour cela il faut que gH = Hg  pour tout g dans G

...

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 13:45

Je vous remercie.
Bon, je vais aller creuser tout ça et reviendrai ici à l'issue.
Il me faut tout d'abord me familiariser quelque peu avant avec cette histoire de classe.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 13:55

Attendez :
« congruence à droite modulo H »
ne veut pas dire la même chose que
« classe à droite de x modulo H » ?

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 14:16

.... non mais là il y a trop de trucs qui se bousculent dans ma tête .

On me dit dans mon poly :
H sous groupe de G ssi
H non vide
\forall x,y\in H, xy^{-1}\in H

Plus loin on me dit :
Cette relation de
xy^{-1}\in H
est appelée congruence à droite modulo H. L'ensemble des classes d'équivalence est noté H\G.

Puis encore plus loin (ou plutôt ailleurs) :
xH=\{xh ;h\in H\} est le sous ensemble nommé « classe à gauche de x modulo H »

Je n'y comprends plus rien ....

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 14:17

...... si toutefois j'y ai compris un semblant de quelque chose un jour.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 15:51

luzak,

Citation :
As-tu étudié la notion de classe selon un sous-groupe ? celle de groupe quotient ?


Non. Je suis en train d'essayer de comprendre un poly à ce sujet mais je n'y arrive pas pour l'instant.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 03-02-20 à 15:55

En fait c'est ce G/H que je je comprends pas, voire parfois noté G\H.
Est-ce la même chose ? Ou pas du tout ?
Bref je suis perdu.

Posté par
carpediemre : Groupe normal 03-02-20 à 17:05

tu mélanges beaucoup de choses :

Fractal @ 03-02-2020 à 14:16

un ensemble H est un sous groupe de G ssi
H non vide
\forall x,y\in H, xy^{-1}\in H

Plus loin on me dit :
Cette relation de congruence : x R y définie par de
xy^{-1}\in H    ici H est un sous-groupe
est appelée congruence à droite modulo H. L'ensemble des classes d'équivalence est noté H\G.

Puis encore plus loin (ou plutôt ailleurs) :
xH=\{xh ;h\in H\} est le sous ensemble nommé « classe à gauche de x modulo H » à nouveau relation de congruence : x R y <=> xH = yH <=> xy-1H = H

Je n'y comprends plus rien ....

Posté par
luzakre : Groupe normal 03-02-20 à 17:48


Je propose un petit bilan :
1. la définition d'un sous-groupe H.
On peut effectivement s'en tenir à H\neq\emptyset,\;\forall(x,y)\in H^2,\;x^{-1}y\in H et c'est parfaitement équivalent à H\neq\emptyset,\;\forall(x,y)\in H^2,\;xy^{-1}\in H .

2. la relation d'équivalence à gauche par rapport à un sous-groupe H dans un groupe G.
Elle est définie par (x,y)\in G^2,\;x\mathcal{R}_g y\iff x^{-1}y\in H.
(Ne pas confondre avec les relations du 1. où les éléments x,y sont pris dans H, ici ils sont pris dans G).

Important : puisque H est un sous-groupe, si x^{-1}y\in H on a aussi y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H : l'inverse est toujours mis sur l'élément écrit à gauche.

Avec cette relation la classe d'un élément x est l'ensemble xH (ensemble des produits de x par un élément de H : produit non commutatif).
Cette relation est compatible à gauche avec la loi de G ce qui signifie :
\forall(x,y,z)\in G^3,\;x\mathcal{R}_g y\implies (zx)\mathcal{R}_g(zy) ou encore : on peut composer à gauche quand la relation est vérifiée.

L'ensemble des classes à gauche est souvent noté G/H MAIS il vaut mieux réserver cette notation au groupe quotient ce qui exige que le sous-groupe H est normal.

3.la relation d'équivalence à droite par rapport à un sous-groupe H dans un groupe G.
Elle est définie par (x,y)\in G^2,\;x\mathcal{R}_d y\iff xy^{-1}\in H.
Cette fois la classe d'un élément x est Hx (on fait les produits, dans cet ordre, d'un élément de H par x).

Ce n'est pas recommandé mais il existe des gens qui notent G \backslash H l'ensemble des classes à droite (risque de confusion avec la différence des ensembles), d'autres utilisent H/G.


Et ici aussi on a la compatibilité à droite : lorsque x\mathcal{R}_d y on obtient encore une équivalence en multipliant à droite par un z quelconque du groupe, soit (xz)\mathcal{R}_d(yz).

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 10:00

Bonjour,

C'est très gentil à vous d'avoir pris le temps de me répondre en relevant mes confusions.
Je vais regarder attentivement et point par point tout ce que vous m'évoquez présentement en tentant de mieux comprendre le sens de tout cela, puis reviendrai très prochainement vers vous.
Merci beaucoup, cette aide m'est d'ores et déjà fort précieuse.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 10:42

Avant d'aller plus loin, j'ai une question béotienne par rapport au point 2 de luzak :

C'est :
« toute relation d'équivalence à gauche par rapport à un sous-groupe H dans un groupe G qui est définie de la manière suivante :
(x,y)\in G^2,\;x\mathcal{R}_g y\iff x^{-1}y\in H »
qu'il me faut comprendre ?
Ou plutôt  le fait qu'on ait définie spécifiquement cette relation d'équivalence comme étant celle relative à la relation d'équivalence à gauche par rapport à un sous-groupe H dans un groupe G ?

Vous remerciant.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 10:47

Ah quel œuf !!!!
Il me suffit de considérer qu'il se passe des choses à droite et qui s'écrivent autrement pour avoir la réponse à ma dernière question ...

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 11:07

Au temps pour moi, je réitère bien ma question de 04-02-20 à 10:42.
Désolé

Posté par
carpediemre : Groupe normal 04-02-20 à 11:44

Fractal @ 04-02-2020 à 10:42

« toute relation d'équivalence à gauche par rapport à un sous-groupe H dans un groupe G qui est définie de la manière suivante :
(x,y)\in G^2,\;x\mathcal{R}_g y\iff x^{-1}y\in H »
c'est équivalent à :

x  R  y \iff xH = yH en multipliant à gauche

pour tout g dans G tu ppeux considérer l'ensemble gH = \{ gh  /  h \in H \}


alors :

1/ gH n'a aucune raison d'être un groupe
2/ g H => gH = H

maintenant si x et y sont deux éléments de G alors xH = yH \iff y^{-1}xH = H \iff H = x^{-1}yH

comme tu le vois on travaille à gauche (de H) ...

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 14:36

Non, décidément, il y a quelque chose que je ne saisi pas ....

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 16:39

Bonsoir,

Beaucoup de choses continuent d'être quelque peu effervescentes dans ma tête à la lueur de vos remarques que j'essaye sincèrement d'intégrer une à une croyez-moi bien, et de ce fait il me faut vraiment aller pas à pas.
Aussi ai-je la question suivante à vous soumettre :

Citation :
luzak
Quand le sous-groupe H n'est pas normal, en multipliant un élément de xH (classe de x) avec un élément de yH on n'est pas certain d'obtenir un élément de xyH (classe de xy). Autrement dit on ne peut pas définir une loi de composition (issue de celle du groupe initial) sur les classes.


Cela veut-il dire qu'en composant un élément X de la classe de xH avec un élément Y de la classe de yH par la loi de composition interne * du groupe G, on n'est pas certain que l'élément X*Y ainsi obtenu soit de la classe de xyH, c'est à dire en fait que cet élément « réponde favorablement » à la relation d'équivalence que l'on a défini sur H ? (à moins qu'il ne faille présentement dire sur G ?)

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 04-02-20 à 17:20

Bonsoir Fractal, tu as bien compris la chose.

Si on a u dans gH et v dans kH, rien n'assure en général que uv est dans gkH sauf si H est normal (ou distingué, c'est la même chose). On a équivalence entre le fait que H est un sous groupe normal et le fait que la relation d'équivalence est compatible avec la loi du groupe.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 18:44

Merci beaucoup Kernelpanic (ce pseudo me fait grandement sourire ) ,


Bon, je vais continuer à lire le reste des remarques de carpediem et de luzak afin de continuer à avancer.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 18:45

…. mais avant une question :

Citation :
… à la relation d'équivalence que l'on a défini sur H ? (à moins qu'il ne faille présentement dire sur G ?)

Donc sur G et non pas sur H ?

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 04-02-20 à 18:53

En effet, si G est un groupe (multiplicatif) et H un sous-groupe de G, on définit sur G la relation d'équivalence \mathcal{R} comme étant, pour tout élément a,b de G :

a \mathcal{R} b \Longleftrightarrow b^{-1}a \in H

et l'ensemble quotient G / \mathcal{R} est noté  G / H

(pour ce qui est du pseudo, ça m'est arrivé la première fois que j'ai installé une des distributions linux sur mon pc, autant dire que ça m'a assez marqué )

Posté par
ThierryPomare : Groupe normal 04-02-20 à 21:16

Bonsoir tout le monde,

De tout ce qui a été écrit, je retiens principalement le message du  04-02-20 à 17:20 qui est fondamental.

@Kernelpanic : Moi qui veut passer sous Linux, tu ne m'encourages pas. Je voudrais tant laisser tomber W.....daube.

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 21:55

Hello Kernelpanic,

ça faisait longtemps !

Posté par
Fractalre : Groupe normal 04-02-20 à 22:01

M..... , j'ai pas appuyé sur le bon truc.
Je reprends donc …

Hello ThierryPoma,

ça faisait longtemps !

Posté par
lafol Moderateurre : Groupe normal 04-02-20 à 22:01

@Thierry : si tu veux t'initier à Linux sans prendre de risques, fais le dans une machine virtuelle. ça permet de travailler sur les deux systèmes sur la même machine (en se débrouillant bien, on peut de la machine virtuelle sous linux déposer des fichiers dans les répertoires Windaube pour les récupérer ensuite par exemple pour les imprimer... installer une imprimante sous linux, pour moi ça reste très aléatoire, on croit avoir réussi, et deux redémarrages plus tard, ça ne marche plus ... et même quand ça marche, on n'a souvent pas les pilotes complets d'imprimantes donc pas accès aux fonctions genre agrafage ou impression en livret )

Posté par
malou Webmasterre : Groupe normal 04-02-20 à 22:03

ThierryPoma, être sous linux...un vrai bonheur ! ça rame pas au fil des années comme avec W..., pas besoin d'antivirus...pour rien au monde je ne repartirais vers W.
Bonsoir Fractal

Posté par
lafol Moderateurre : Groupe normal 04-02-20 à 22:07

et puis sous linux on a accès à AutoMultipleChoice qui n'existe pas sous w...
et ça, c'est assez irremplaçable !

Posté par
luzakre : Groupe normal 05-02-20 à 08:09

Bonjour Kernelpanic

Citation :

et l'ensemble quotient G / \mathcal{R} est noté  G / H

Il me semble que ce n'est pas une bonne idée tant que H n'est pas un groupe normal.

C'est tout le problème des notations !
Quand le sous groupe est bien identifié, donner un nom aux relations à gauche et à droite associées est facile.
S'il faut alourdir en cherchant des notations qui se paramètrent selon le sous-groupe ben, c'est lourd!

Posté par
coa347re : Groupe normal 05-02-20 à 11:21

Bonjour,

Citation :
On a équivalence entre le fait que H est un sous groupe normal et le fait que la relation d'équivalence est compatible avec la loi du groupe.

La question qui m'intéressait, c'était de savoir si l'affirmation suivante est vraie :

"On peut définir une loi quotient sur les classes d'équivalence de G selon H (à gauche par exemple) si et seulement si H est distingué dans G" ? (la réponse est oui) :

Dans le sens : H est distingué dans G => on peut définir une loi quotient ( = loi induite par la loi de G sur ses classes d'équivalence), cela ne fait de doute pour personne.

Dans le sens : si on peut définir une loi quotient, par exemple sur ses classes à d'équivalence à gauche (i.e. (aH).(bH)=(abH) quelque soit a et b dans G), alors H est distingué dans G (prendre b=a^-1), aH=Ha quelque soit a dans G, et Rd=Rg.

Donc H distingué est une condition suffisante, mais aussi nécessaire, pour pouvoir définir une loi quotient (sur ses classes d'équivalence à gauche par exemple). Dans ce cas, ses classes d'équivalence à gauche et à droite sont alors égales.

Posté par
luzakre : Groupe normal 05-02-20 à 11:51

Plus généralement tu peux prendre le problème un cran "avant" :
Si une relation d'équivalence dans un groupe  est compatible d'un côté (par exemple à gauche) nécessairement la classe du neutre est un sous-groupe et la relation vérifie la définition de l'équivalence à gauche selon un sous-groupe.
Idem en remplaçant "gauche" par "droite".

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 05-02-20 à 20:18

Bonsoir luzak, intéressant ta remarque. En effet, ça peut prêter à confusion... On m'a toujours enseigné qu'on parlait tout le temps de l'ensemble quotient G/H mais il est vrai que lorsque on manipule cette notation la grande partie du temps, c'est souvent pour parler du groupe (et donc il faut que H soit normal)... Dans ce cas mea culpa, comme tu as dit ça dépend des notations !

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 05-02-20 à 20:20

et juste pour ThierryPoma, normalement y a pas trop de souci à se faire (je pense à Fedora par exemple qui est super simple à installer, du moins tout est relatif...), c'est juste qu'à l'époque j'étais une bille et j'y suis allé comme un bourrin ça devait forcément se produire !

Posté par
carpediemre : Groupe normal 05-02-20 à 20:40

certes mais peut-être ne faut-il pas mettre la charrue avant les bœufs !!!

qu'un sous-groupe H d'un groupe G soit normal ou pas dans G

on peut considérer l'ensemble quotient G/H (ou H\G) suivant qu'on considère la relation à droite ou à gauche ... en précisant quelle est la relation considérée (en général la multiplication à gauche ou à droite)

ensuite et seulement ensuite on peut s'intéresser à poser ou plaquer une structure sur cet ensemble G/H pour non seulement en faire un groupe mais en plus que cette structure de groupe soit compatible (en un sens à préciser) avec la structure du groupe G ...

ensuite alors on peut parler de groupe quotient ...

Posté par
luzakre : Groupe normal 06-02-20 à 09:20

Désolé carpediem et bonjour !
Quand je vois G/H je pense à groupe quotient. Bien sûr j'ai tort mais c'est comme ça.

Quand je vois  H\ G je pense à différence d'ensembles. Bien sûr j'ai tort mais c'est comme ça.

Posté par
coa347re : Groupe normal 06-02-20 à 11:41

Bonjour,
Ok merci luzak.

Citation :
Plus généralement tu peux prendre le problème un cran "avant" :
Si une relation d'équivalence dans un groupe  est compatible d'un côté (par exemple à gauche) nécessairement la classe du neutre est un sous-groupe et la relation vérifie la définition de l'équivalence à gauche selon un sous-groupe.
Idem en remplaçant "gauche" par "droite".

Mais quelque chose m'échappe. Si une relation d'équivalence R est compatible avec la loi de G, alors elle est compatible à droite et à gauche, donc il existe un sous-groupe H tel que R=relation d'équivalence à droite selon H, et il existe un sous-groupe H' tel que R=relation d'équivalence à gauche selon H', mais on n'a pas forcément H=H', donc on ne peut pas en tirer qu'on peut définir une loi quotient de G par un sous-groupe H de G, et que l'un des deux sous-groupes H et/ou H' est normal ?

En fait, je ne comprends pas cette phrase :
"On a équivalence entre le fait que H est un sous groupe normal et le fait que la relation d'équivalence est compatible avec la loi du groupe."

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 06-02-20 à 11:50

Bonjour coa347, je précise ma pensée. Soit (G, \cdot) un groupe, et H n sous-groupe de G. Je note \mathcal{R} "à gauche" et \mathcal{R}' "à droite" (c'est vraiment pas français, mais j'espère que tu comprendras).

On a équivalence entre :

1) \mathcal{R} est compatible avec la loi de G
2) \mathcal{R}' est compatible avec la loi de G
3) [tex]\mathcal{R} = \mathcal{R}'
4) xH = Hx pour tout x dans G
5) H est un sous-groupe normal

si je me trompe pas (j'ai une démo dans un de mes classeurs, mais je n'arrive pas à le retrouver...)

Posté par
Kernelpanicre : Groupe normal 06-02-20 à 11:50

Oups

Kernelpanic @ 06-02-2020 à 11:50


On a équivalence entre :

1) \mathcal{R} est compatible avec la loi de G
2) \mathcal{R}' est compatible avec la loi de G
3) \mathcal{R} = \mathcal{R}'
4) xH = Hx pour tout x dans G
5) H est un sous-groupe normal

Posté par
luzakre : Groupe normal 06-02-20 à 12:50

Bonjour coa347
Tu as oublié de lire que j'avais précisé

Citation :
compatible d'un côté

J'ai également indiqué que "compatible à gauche " (ou "compatible à droite") implique que le sous-groupe qui va bien est la classe de l'élément neutre du groupe.
Donc, si une relation est compatible à la fois à droite et à gauche (compatible en raccourci) la relation est associée à un unique sous-groupe, la classe de l'élément neutre. Et on montre sans difficulté que ce sous-groupe est normal.

@Kernelpanic
Tu peux même préciser ton énoncé :
1.  \mathcal{R} compatible à droite (car elle est TOUJOURS compatible à gauche)
2. \mathcal{R}'  compatible à gauche
sont équivalentes à 3., 4., 5.

Posté par
coa347re : Groupe normal 06-02-20 à 15:27

Merci Kernelpanic,

Je n'ai pas tout ça dans mon livre ! Décidément, le livre que j'étudie en ce moment est encore incomplet. Je vais essayer de démontrer ces équivalences.

Merci luzak.

Citation :
J'ai également indiqué que "compatible à gauche " (ou "compatible à droite") implique que le sous-groupe qui va bien est la classe de l'élément neutre du groupe.
Donc, si une relation est compatible à la fois à droite et à gauche (compatible en raccourci) la relation est associée à un unique sous-groupe, la classe de l'élément neutre. Et on montre sans difficulté que ce sous-groupe est normal.

J'ai compris, merci beaucoup ! Comme c'est la même relation d'équivalence, la classe du neutre (ou d'un élément quelconque de G) est à la fois la classe à droite et la classe à gauche, donc c'est la même.

Posté par
luzakre : Groupe normal 06-02-20 à 16:53

Pour la démonstration je te suggère d'utiliser la propriété :
\forall(x,y)\in G^2,\;x\mathcal{R}y\iff x^{-1}\mathcal{R}' y^{-1}

Posté par
carpediemre : Groupe normal 06-02-20 à 18:37

luzak : il n'y a pas à être désolé ...

nous avons tous été plus ou moins "formaté" par la première rencontre avec une notation ...

tout le pb c'est de pouvoir s'en sortir en lui donnant du sens afin qu'une même notation puisse s'adapter à différents cadres ...

tout comme toi quand je vois G/H je pense groupe quotient ... parce que G et H sont déjà des notations usuelles de groupes ...

mais je ne vois aucune différence entre X/Y et G/H  quand je ne sais rien de plus sur G et sur H que sur (des ensembles quelconques) X et Y ...

encore faut-il à nouveau donner un sens à X/Y quand X et Y sont des ensembles quelconques ...

c'est toujours difficiles mais seul le contexte (donc un énoncé exact est précis) permet de savoir de quoi on cause ...

Posté par
luzakre : Groupe normal 07-02-20 à 07:59

Disons que dans le cas des groupes, la notation G/H incite à croire que H est normal et c'est seulement après coup que l'est amené à voir un ensemble quotient qui n'est pas un groupe quotient.


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