Bonsoir
J'ai besoin de votre aide svp
Je ne comprends pas une partie de mon cours sur le groupe orthogonal;
"AOn() UOn() tel que A=UDtU=UDU-1"
Je ne comprends pas pourquoi U appartient nécessairement au groupe orthogonal ? Je ne comprends pas pourquoi on utilise le théorème spectral alors que A n'est pas symétrique réelle ?
Merci de m'aider
Bonjour !
Si désigne une matrice diagonale, ton résultat est faux.
Prends le cas d'une rotation d'angle dans le plan euclidien !
Ce qu'on peut montrer dans le cas général c'est l'existence d'une matrice orthogonale telle que est formée de blocs diagonaux .
si A est orthogonale alors c'est une isométrie : pour tout vecteur u : ||Au|| = ||u||
les seules valeurs propres réelles sont donc 1 et -1
les autres valeurs propres sont complexes de module 1 et correspondent à des rotations
...
Il faut travailler par récurrence sur la dimension.
Les cas de dimension 1,2 sont connus.
Si (de matrice orthogonale) a une valeur propre et un vecteur propre , l'orthogonal est stable par et on raisonne sur l'hyperplan qui est de dimension .
Sinon, l'endomorphisme est symétrique et admet un vecteur propre et tu montres que est stable par .
La restriction de à ce plan est une rotation plane et tu montres que l'orthogonal est stable aussi, ce qui permet de faire la récurrence.
Merci pour votre réponse.
Mais je ne saisis pas tout.
Je pensais qu'on pouvait justifier le résultat avec un argument plus simple notamment en utilisant le fait que la matrice de passage d'une BON à une autre BON appartient au groupe orthogonale, ce qui justifie que U appartient au groupe orthogonale.
Et tu penses que, juste parce que tu prends des bases orthonormées au hasard, tu auras une matrice en blocs diagonaux ?
Non évidemment. Ces matrices doivent être bien choisi. Mais ça peut expliquer en partie l'appartenance de U au groupe orthogonale ?
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