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Groupe permutations et isomorphisme

Posté par
Pixy37 25-09-21 à 09:52

Bonjour,

Je vous propose un petit exercice tiré d'un bouquin de L1 sur lequel je bloque sur la question 3. En voici l'énoncé :

1) Montrer que les applications t:x\rightarrow x+1 et s: x\rightarrow -x de dans appartiennent à S() (groupe des permutations de ).
2) Comparer s\circ t et t\circ s. Conclusion ?
3) Établir un isomorphisme entre le sous-groupe (, \circ) de S() engendré par {s,t} et le groupe (G, ) avec G = {-1,1} et la loi définie par (a,) (b,) = (a+b,) avec a,b et , {-1,1}.

Info importante: il faut savoir que le groupe (G, ) est étudié dans un exercice précédent dans lequel il faut notamment montrer que G muni de est bien un groupe et surtout que G est engendré par {a,b} avec a = (0,-1) et b = (1,-1).

Dans l'idée, comme n'importe quel élément de G peut être vu comme une combinaison des éléments a et b si on arrive à envoyer a et b sur des éléments de <{s,t}>, on pourra via les propriétés du morphisme bien avoir une application qui est stable et va de G dans .

Donc en appelant notre morphisme, peut être se débrouiller pour avoir (a)=s et (b) = t ou le contraire... J'avoue qu'à partir de là je ne vois pas du tout comment définir ...

J'ai aussi remarqué que (t \circ s)² = (s \circ t)² = Id. Je ne sais pas si on peut se servir de cela également...

Bref, des idées ? J'imagine que la solution doit être assez simple du fait que c'est un exercice de niveau L1 mais je ne vois rien d'évident pour le moment...

En vous remerciant par avance

Alex

Posté par
carpediemre : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 10:20

salut

2/ qu'as-tu obtenu ...

pour G et vu ta remarque je verrais bien que les couples (u, v) sont le terme constant et le coefficient directeur d'un élément de ...

regarder un peu plus en détail les éléments de ...

Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 10:25

Bonjour,

Pour compléter :
- définir \varphi : G\to \mathfrak S(\Z) (carpediem indique comment)
- vérifier que l'image de \varphi est égale à \Gamma, et que le noyau de \varphi est réduit à l'élément neutre.

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 19:10

Merci pour vos reponses.

2) s\circ t \neq t \circ s et donc (S(),\circ) n'est pas commutatif (chose que l'on savait à l'avance non, en quoi cela nous aide pour la suite ?).

J'ai essayé d'étudier les éléments de . On a :
t\circ s \rightarrow -x-1
s\circ t \rightarrow -x+1
t^{-1} \rightarrow x+1
s = s^{-1}
t^{-k}\rightarrow x + k pour k

La derniere me semble interessante, pour rejoindre ce qui a été dit, peut etre que si v = 1 on utilise v pour le coef directeur et u pour la constante en définissant \varphi (u,v) = t^{u} ? Mais comment etre sur qu'on va bien obtenir un morphisme et en plus ca ne marche pas quand v vaut -1...

Non, je ne vois pas désolé...

Posté par
carpediemre : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 19:19

si f(x) = ax+ b et g(x) = cx + d que vaut g o f (x) ?

faire le lien avec la loi de G ...

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 20:39

Ok, on a (g\circ f)(x) = cax + d + cb.
Du coup, en faisant le lien avec la loi de G, on identifie "ca" avec et d+cb avec a+b

Je suis sans doute nul mais je ne vois toujours pas comment définir ...

Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 20:49

Il n'y a pas 36 possibilités ! Tu dois associer à un élément de G une permutation de la forme x \mapsto \pm x +a  avec a\in \Z.

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 25-09-21 à 21:51

Bah non, désolé, je ne comprends pas...

Une permutation de la forme x \mapsto \pm x + a ? Car les éléments de <{s,t}> sont de cette forme ?

Ok. Donc pour tout k dans on a t^{k}(x) = x+k et ( t^{k}\circ s) (x) = -x +k donc avec  t^{k} et t^{k}\circ s on peut former tous les éléments de <{s,t}>...

On fait quoi après ? On pose ((k,) = t^{k} si = 1 et ((k,) = t^{k}\circ s si = -1...

Non... je ne vois pas comment gérer le et comment on sait que ça va marcher.

Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 09:19

À un élément de G de la forme (a,\pm1) tu dois associer une permutation de \Z de la forme x\mapsto \pm x +a ....

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 09:49

A un couple (a,) on associe x+a ?
Donc si =-1 on associe -x+a et si =1 on associe x+a

Mais comme j'ai dit précédemment on a -x+a = (t^{a}\circ s)(x) et x+a = (t^{a})(x)...
Donc on pose (a,) = (t^{a}) si = 1 et  (a,) = (t^{a}\circ s) si = -1

C'est ce que j'avais dit dans mon dernier message, mais visiblement c'est faux.

Pourtant, a partir de cette définition et de celle de la loi de G, on a
\varphi ((a,\varepsilon ))\perp (b,\eta )) = \varphi (a+\varepsilon b,\varepsilon \eta ), il y a alors quatre cas possibles.
Si par exemple == 1
\varphi ((a,\varepsilon ))\perp (b,\eta )) = \varphi (a+\varepsilon b,\varepsilon \eta ) = \varphi(a+b,1) = t^{a+b} = t^{a}\circ t^{b} = \varphi ((a,\varepsilon) )\circ \varphi ((b,\eta ))
Le morphisme semble donc fonctionner ? (je n'ai pas testé les 3 autres cas)

Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 10:23

Il est inutile de faire une distinction des cas : ne sais-tu pas calculer  \varepsilon (\eta x +b) + a ?

J'ai l'impression que tu es complètement obnubilé par s et t et que ça gêne ta compréhension.

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 12:14

GBZM @ 26-09-2021 à 10:23


J'ai l'impression que tu es complètement obnubilé par s et t et que ça gêne ta compréhension.


Oui tout à fait car comme on doit arriver dans <{s,t}> qui correspond à des combinaison de s, t et de leurs inverses, en définissant avec s et t, on est sur de bien rester dans <{s,t}>.

Bref, donc on pose \varphi ((a,\varepsilon )) = \varepsilon x + a ?
Du coup, on a \varphi ((a,\varepsilon )\perp (b,\eta )) = \varphi ((a+\varepsilon b,\varepsilon \eta )) = \varepsilon \eta x + a + \varepsilon b = \varepsilon (\eta x+b)+a = (\varepsilon x+a)\circ (\eta x+b)=\varphi ((a,\varepsilon )\circ \varphi (b,\eta ))
Donc est bien un morphisme.

Ensuite, \ker (\varphi ) = \left\{(a,\varepsilon ) \in G, \varphi ((a,\varepsilon )) = Id_{\tau } = x \right\} \Leftrightarrow \varepsilon x + a = x \Leftrightarrow (a,\varepsilon ) = (0,1) = e_{G}
Ainsi \ker (\varphi ) = \left\{e_{G} \right\} donc est injectif.

Ca va jusque là ?

Pour la côté surjectif, je suis plus embêté car j'imagine qu'il faut avant montrer proprement que tout élément de est de la forme \pm x + k avec k.
Si c'est le cas, soit u , alors u est de la forme  \pm x + k donc u = x + k ou u = -x + k  ainsi, en prenant g = (k,1) ou g = (k,-1) u , gG, (g)=u, donc est surjective.

Finalement, est un isomoprhisme de G





Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 13:45

Il semble que tu aies compris;

Mais attention ! Il y a des incorrections d'écriture qui risquent de t'attirer des ennuis.

Je prends l'exemple de \varphi(a,\varepsilon) = \varepsilon x +a.
À gauche tu as une application de \Z dans \Z . À droite tu as un élément de \Z. Tu as à droite une variable libre x qui ne figure pas à gauche. Ton écriture est donc incorrecte. Ce qui est correct, c'est
\varphi(a,\varepsilon)(x) = \varepsilon x +a.
ou
\varphi(a,\varepsilon)= (x\mapsto \varepsilon x +a)
(dans la deuxième écriture, la variable x est rendue muette).

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 14:14

Merci pour ces précisions et pour votre patience.

J'avais une question subsidiaire car mon problème dans ce genre de questions "ouvertes" c'est que bien que je connaisse dans l'ensemble les définitions, théorèmes et méthodes de base du chapitre étudié, je suis complétement bloqué sur un petit exercice de L1.

Pourtant la solution est relativement simple et vous l'avez sans doute trouvée en 2 min. Je pense que j'aurais pu passer une semaine sur cet exercice sans jamais avoir l'idée et c'est pourtant ce qu'il faut dans ce genre de question: une idée.

Ma question: comment vous vient l'idée justement ? Je me doute bien que pour définir on ne teste pas au pif jusqu'à ce que ça marche. Quel élément de l'énoncé ou quel observation vous permet de savoir comment le définir ? J'imagine qu'il y aussi l'expérience qui joue mais j'imagine également qu'il me manque quelque chose, peut être une meilleure compréhension de ce qu'est un morphisme (au delà de la définition purement mathématique qu'on trouve dans les livres) ou une astuce, je ne sais pas.

Qu'est ce qui vous met sur la piste ?

Posté par
GBZMre : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 15:05

Ici, il était bon de reconnaître la forme générale d'un élément de \Gamma, sans rester scotché à s et t.

Posté par
carpediemre : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 15:47

et de reconnaitre la formule de composition des fonctions affines ...

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 15:54

Et il était évident que les éléments de <{s,t}> étaient de la forme u avec u: x\mapsto \pm x +k) ?

J'imagine qu'il fallait déjà voir que la composée de deux fonctions affines de coef directeur \pm 1 reste une fonction affine de coef directeur \pm 1 et qu'en plus avec t^{k} et t^{k}\circ s on pouvait obtenir \pm x +k.

Je ne suis néanmoins pas sur que même en ayant vu ça j'aurais réussi à définir comme il faut...

Posté par
Pixy37re : Groupe permutations et isomorphisme 26-09-21 à 15:54

carpediem @ 26-09-2021 à 15:47

et de reconnaitre la formule de composition des fonctions affines ...



Oui je pense qu'il me manquait ça aussi ^^


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