Niveau Reprise d'études

Groupe quotient

Posté par
Pixy37 19-09-21 à 11:42

Bonjour,

Après plusieurs années "d'inactivité", je me remets aux mathématiques. J'ai du mal avec la notion de "groupe quotient" que je sais ô combien importante en théorie des groupes.

J'aimerais, si possible, avoir une explication un peu plus "imagée" ou "concrète" de cette notion.

Il y a une phrase tirée de Wikipédia qui m'intéresse particulièrement, à savoir : "Intuitivement, quotienter un groupe G par un sous-groupe H revient à « annuler » les éléments de H."

J'ai du mal a comprendre concrètement ce qui se passe. Voilà pour l'instant ce que je pense avoir saisi, merci de me corriger le cas échéant:

Soit $(G,\star )$ un groupe et H un sous-groupe de G. On définit la relation d'équivalence ~ par g₁,g₂ G, g₁ ~ g₂ g₁^-1 $\star$ g₂ H. On montre alors que la classe d'équivalence d'un élément g de G est gH, appelée classe à gauche de g modulo H. On peut définir de même la classe à droite de g, Hg en partant de la relation d'équivalence g₁,g₂ G, g₁ ~ g₂ g₂ $\star$ g₁^-1 H. Ça je comprends.

Ensuite, pour construire le groupe quotient G/H, il faut que H soit distingué (pourquoi ?) dans G donc que pour tout h H et tout g G, $g\star h\star g^{-1} \in H$ ce qui équivaut à gH = Hg (je comprends l'équivalence). A partir de là, si H est distingué, on construit notre groupe quotient G/H contenant les classes d'équivalence des éléments g de G modulo H. On peut ensuite construire un morphisme de groupe de G vers G/H en passant par la surjection canonique qui à chaque élément g de G associe sa classe d'équivalence dans G/H.

C'est là déjà que j'ai du mal à comprendre ce qui se passe. Pour tout élément g, sa classe contient le résultat du "produit" (supposons $\star$ multiplicative) de lui même par tous les éléments de H. Mais donc la classe d'équivalence d'un élément de H est H (on réalise une bijection de H dans lui même), non ... ? Bref, je beug...

Dernier point, en partant d'un morphisme f de G dans G' et en quotientant G par Ker(f) (qui est un sous-groupe normal de G, ça je comprends) on peut "factoriser" f et le rendre en quelque sorte injectif. Si je comprends bien, on va regrouper dans une même classe d'équivalence de G/Ker(f) tous les éléments de G ayant la même image par f et les "réinjecter" via une application $\hat{f}$ de G/H dans G'. En gros, si f(a) = f(b) = f(c), on va regrouper a, b, c dans une même classe $\bar{x}$ et avoir f(a) = f(b) = f(c) = $\hat{f}(\bar{x})$ . Pareil, que se passe t-il concrètement en quotientant G par Ker(f) ? Si f est déjà injective donc si Ker(f) = {e} cela à t-il une influence ? ...

Bref, désolé pour ce long message mais je pense que vous aurez compris mon problème, je saisis des choses par ci par là mais j'ai du mal à faire le lien et à voir la notion dans son ensemble. Toute explication est la bienvenue. J'aurais besoin de quelque chose de plus concret ou plus vulgarisé si possible...

En vous remerciant par avance.

Posté par re : Groupe quotient 19-09-21 à 11:56

Bonjour,

Citation :
pour construire le groupe quotient G/H, il faut que H soit distingué (pourquoi ?) dans G

Parce que sinon il n'y a pas moyen de faire du quotient un groupe de façon à ce que la surjection canonique $g\mapsto gH$ soit un morphisme de groupe.
Si cette surjection est un morphisme de groupe alors si $e$ est l'élément neutre de $G$ , $eH$ doit être l'élément neutre de $G/H$ . On doit donc avoir $eH\, gH = gH$ et donc pour tout $h\in H$ on doit avoir $hg\in gH$ , autrement dit $g^{-1}hg\in H$ .

Posté par re : Groupe quotient 19-09-21 à 12:03

Citation :
Mais donc la classe d'équivalence d'un élément de H est H (on réalise une bijection de H dans lui même), non ... ? Bref, je beug...

Oui, la classe d'équivalence d'un élément de $H$ est $H$ .
$H$ est l'élément neutre de $G/H$ . Donc tout élément de $H$ est envoyé sur l'élément neutre du quotient $G/H$ . Tel est le sens de "Intuitivement, quotienter un groupe G par un sous-groupe (distingué) H revient à « annuler » les éléments de H." Le terme "annuler" fait trop penser à la situation où l'élément neutre est noté 0. Je préfère dire "neutraliser" (en langage militaire, euphémisme pour "zigouiller").

Posté par re : Groupe quotient 19-09-21 à 12:10

Quand on a un homomorphisme de groupes $f : G\to G'$ et qu'on "passe au quotient" pour récupérer l'homomorphisme injectif $\bar f : G/\ker(f)\to G',$ on neutralise tous les éléments de $G$ qui s'envoient sur l'élément neutre de $G'$ . Ce faisant, on neutralise le noyau de $f$ , on le réduit à l'élément neutre et on récupère ainsi un homomorphisme injectif de $G/H$ dans $G$ . Si $f$ était déjà injectif, on ne neutralise que le neutre, c.-à-d. qu'on ne fait rien du tout.

Posté par Groupe quotient 19-09-21 à 12:11

bonjour,

Citation :
Ensuite, pour construire le groupe quotient G/H, il faut que H soit distingué (pourquoi ?)

comme tu l'as écris les éléments de G/H sont les gH où g est dans G
donc il faut donner un sens à gH.g'H=g(Hg')H=gg'HH=gg'H

G/H est un ensemble de classes qui forment une partition de G et H est une des classes.

Si f est injective Ker(f)={e} comme tu l'as écris donc on est dans le cas où H={e} donc G/H=G

Posté par Groupe quotient 19-09-21 à 12:16

absence de rafraichissement

Posté par re : Groupe quotient 19-09-21 à 12:17

DOMOREA @ 19-09-2021 à 12:16

absence de rafraichissement

Oui, il est temps d'aller prendre l'apéro.

Posté par re : Groupe quotient 19-09-21 à 16:20

Merci beaucoup pour les réponses. Travaillant en autodidacte avec seulement quelques livres et internet cela fait du bien de pouvoir poser des questions (et encore plus d'avoir des réponses) !

Je pense avoir compris l'essentiel. On veut munir $G/H$ d'une loi de groupe pour pouvoir faire de $\Pi$ un morphisme de $G \rightarrow G/H$ qui naturellement serait défini par $\Pi (g_{1}g_{2}) = \Pi(g_{1})\Pi(g_{2})$ (ou $g_{1}g_{2}H = g_{1}Hg_{2}H$ ) mais qui pour être bien défini doit être indépendant du choix des représentants pour chaque classe ce qui est le cas uniquement si H est distingué.

Pour le reste, en "quotientant" G par H on regroupe tous les éléments de H dans une seule classe dans $G/H$ et les autre éléments de G dans diverses classes qui forment une partition de G.

En partant d'un morphisme f et en quotientant G par Ker(f) on regroupe donc tous les éléments de Ker(f) dans une seule classe $\bar{e_{G}}$ ce qui réduit le noyau de $\bar{f}$ à un seul élément et le rend injectif.

Et si f est déjà injective, comme pour tout $g \in G$ , $\Pi (g) = gKer(f) = ge=g$ on ne fait rien.

C'est déjà beaucoup plus clair même si j'ai toujours du mal à manipuler ces objets naturellement. C'est une partie d'une démonstration du théorème de Cayley (qui dit que tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe des permutations) sur laquelle je bloquais qui m'a amené à retravailler sur les groupes quotient. La fin était basée sur le fait que $G/Ker(f)$ est isomorphe à $Im(f)$ ce que je comprends maintenant.

Merci !