Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Partager :

groupes diédraux

Posté par
manu_du_40 05-01-21 à 18:26

Bonsoir,
candidat en train de me remettre à l'algèbre en vue de la préparation de l'agrégation interne, je m'intéresse en ce moment aux groupes diédraux.

Dans mon cours de MP (qui date de 2008), je lis que le groupe diédral D_p où p est un nombre premier impair peut être défini par l'ensemble \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ; *\right)
où * est la L.C.I définie par (x,m)*(y,n)=(x+(-1)^my , m+n).

Dans le livre des éditions "mathématiques pour l'agrégation" des éditions DeBoeck, la définition est plus  générale :

soit un entiern \geq 2, on dit qu'un groupe multiplicatif G est diédral de type D_{2n} s'il est dicyclique, engendré par un élément \rho d'ordre n et un élément \sigma d'ordre 2 tel que \rho\sigma\rho\sigma=Id.

J'ai donc essayé de faire le lien entre les deux définitions en prenant p=3 dans la 1ère définition.
J'obtiens alors \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} .

3 et 2 sont premiers entre eux donc d'après le théorème chinois, ce groupe est cyclique d'ordre 6 (et pas dicyclique).
De plus, il me semble que le groupe diédral D_6 est isomorphe au groupe d'isométrie du plan qui conserve le triangle équilatéral (qui n'est même pas abélien).

Je pense que le problème vient du fait que la loi * de la première définition n'est pas une loi "classique" mais du coup, je n'arrive pas à voir en quoi les deux définitions sont équivalentes (pour D_6 en tout cas).
De plus, je suis nul en isomorphismes , j'ai beaucoup de mal à sentir ce genre de choses.

Merci de m'avoir lu
Manu

Posté par
GBZMre : groupes diédraux 05-01-21 à 18:45

Bonsoir,

Déjà il y a un problème de notation : habituellement D_n désigne le groupe diédral d'ordre 2n, mais certains auteurs (dont le second que tu cites) le note D_{2n}.

Ensuite comme tu l'as deviné, le groupe diédral D_3 n'est pas le produit direct des groupes \Z/3\Z et \Z/2\Z, mais leur produit semi-direct (qu'on note d'habitude  \Z/3\Z\rtimes \Z/2\Z). C'est peut-être un peu ardu, mais en tout cas on ne peut pas lui applliquer le théorème chinois qui concerne le produit direct..

Le groupe diédral D_3 est effectivement le groupe des isométries du triangle équilatéral. On peut prendre pour \rho d'ordre 3 la rotation d'angle 2\pi/3 et pour \sigma d'ordre 2 la symétrie par rapport à une des médianes.

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 05-01-21 à 19:33

Bonsoir GBZM et merci pour votre réponse.

Désolé pour l'erreur de notation. Je parlais bien du groupe diédral à 6 éléments (Identité, 3 symétries axiales et 2 rotations)
Je ne connais pas le produit semi-direct mais je suppose que c'est la loi que j'ai donné dans mon 1er post.

Si j'ai bien compris ce que vous m'avez dit, on doit pouvoir construire un isomorphisme entre  \Z/3\Z\rtimes \Z/2\Z et le groupe du triangle et aussi avec le groupe symétrique S_3.

Comment peut-on procéder pour fabriquer de telles applications ?

Pour l'isomorphisme entre le groupe du triangle et S_3, je suppose qu'il faut associer chaque symétrie avec une transposition et chaque rotation avec une permutation circulaire (ça parâît logique...)

Pour les isomorphismes avec  \Z/3\Z\rtimes \Z/2\Z , je ne vois pas trop.

Encore merci

Posté par
GBZMre : groupes diédraux 05-01-21 à 21:04

Une isométrie du triangle équilatéral est entièrement caractérisée par la permutation induite sur les sommet, et toute permutation des sommets vient d'une isométrie.

Sinon, as-tu lu le dernier paragraphe de mon message précédent ?

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 05-01-21 à 21:19

Re-bonsoir GBZM, j'ai bien lu votre message oui.
J'ai essayé de faire la table du groupe \Z/3\Z\rtimes \Z/2\Z pour la loi * de mon 1er post.

Je trouve (en notant \bar{x}=x+3Z et \dot{y}=y+2Z) :
2 éléments d'ordre 3 : (\bar{1};\dot{0}) et  (\bar{2};\dot{0})

3 éléments d'ordre 2 : (\bar{0};\dot{1}) ;  (\bar{1};\dot{1}) et tex](\bar{2};\dot{1})[/tex]

Donc , c'est bien la même structure ordinale que le groupe des isométries du triangle. Mais est-ce suffisant pour dire que les deux groupes sont isomorphes ?
Il me semblait qu'il fallait trouver un morphisme bijectif entre les deux groupes pour conclure cela. (désolé si ma question est stupide... j'ai beaucoup de mal avec les isomorphismes.)

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 05-01-21 à 21:24

manu_du_40 @ 05-01-2021 à 21:19

Re-bonsoir GBZM, j'ai bien lu votre message oui.
J'ai essayé de faire la table du groupe \Z/3\Z\rtimes \Z/2\Z pour la loi * de mon 1er post.

Je trouve (en notant \bar{x}=x+3Z et \dot{y}=y+2Z) :
2 éléments d'ordre 3 : (\bar{1};\dot{0}) et  (\bar{2};\dot{0})

3 éléments d'ordre 2 : (\bar{0};\dot{1}) ;  (\bar{1};\dot{1}) et (\bar{2};\dot{1})

et le neutre (\bar{0};\dot{0}) d'ordre 1 bien sûr...

Posté par
GBZMre : groupes diédraux 05-01-21 à 21:31

Soit ABC le triangle équilatéral (dans le sens direct).
Comme je l'écrivais, tu envoies (1,0) sur la rotation d'angle 2\pi/3 et (0,1) sur la symétrie par rapport à la médiane issue de A.
Je te laisse décrire géométriquement les images des (x,y).

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 05-01-21 à 21:55

Donc (j'oublie les points et les barres dans les classes d'équivalence pour taper plus vite) :
-(0,0) est l'identité
-(1,0) a pour image la rotation d'angle  2\pi/3
-(2,0) a pour image la rotation d'angle  -2\pi/3
-(0,1) a pour image la symétrie par rapport à la médiane issue de A
-(1,1) a pour image la symétrie par rapport à la médiane issue de B
-(2,1)  a pour image la symétrie par rapport à la médiane issue de C.

La bijectivité est claire.
Est-ce un morphisme ?
Oui mais je l'ai montré de façon un peu barbare en dressant la table de la loi * et en verifiant que je trouvais la bonne transformation géométrique à chaque fois.

Par exemple (1,1)*(2,1)=(-1,0)=(2,0) et effectivement, la composée des deux symétries par rapport aux médianes issues de B et C donne bien une rotation d'angle -2\pi/3.
Mais c'est quand même très fastidieux à rédiger vu qu'il y a 36 cases à remplir dans la table et qu'il faut vérifier que l'application respecte bien à chaque fois la loi de composition des isométries. (bon 25 en fait car on va dire que le neutre ne compte pas... ça reste long.)

Peut-on faire plus simple pour prouver que c'est bien un morphisme ?

Posté par
GBZMre : groupes diédraux 05-01-21 à 22:10

Pas tout à fait d'accord
(1,1) = (1,0) * (0,1) est la symétrie par rapport à la médiane issue de C (symétrie par rapport à l médiane issue de A suivie de rotation de 2\pi/3).

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 05-01-21 à 22:40

Oui en effet, j'avais inversé les deux transformations dans la composition et comme le groupe n'est pas abélien, je me suis embrouillé.
Il faut donc inverser les deux dernières lignes.
Merci de m'avoir fait remarquer cette erreur.

Je cherche encore pour montrer de façon efficace (c'est à dire sans vérifier toutes les cases de la table) que \Phi((\bar{a};\dot{b})*(\bar{c};\dot{d}))=\Phi(\bar{a};\dot{b}) o \Phi(\bar{c};\dot{d}).

Y a-t-il une astuce ?

Posté par
GBZMre : groupes diédraux 06-01-21 à 09:19

On peut faire appel à la notion de présentation de groupe. Tu as un exemple de présentation du groupe diédral D_n d'ordre 2n : générateurs \rho,\sigma et relations \rho^n=1, \sigma^2=1, \rho\sigma\rho\sigma=1.
Étant donné deux éléments a,b d'un groupe G vérifiant les relations a^n=1, b^2=1, abab=1, il existe un unique morphisme de groupes D_n\to G qui envoie \rho sur a et \sigma sur b.

Posté par
mokassinre : groupes diédraux 06-01-21 à 10:11

Bonjour,
Tu as aussi une autre manière (je me permet de la mentionner car elle est importante à garder en tete) de prouver que c'est un morphisme et en fait ca te donne un critère general pour le fait que le produit est semi direct.

Il te suffit pour cela de remarquer que si n est dans Z/3Z, et k dans Z/2Z, alors nkn'k'=nkn'k^{-1}kk' ce qui est (peu ou prou) la loi qui defini le produit semi direct en fait cette identité t'assure que tu cherches à prouver.

manu_du_40 @ 05-01-2021 à 22:40



Je cherche encore pour montrer de façon efficace (c'est à dire sans vérifier toutes les cases de la table) que \Phi((\bar{a};\dot{b})*(\bar{c};\dot{d}))=\Phi(\bar{a};\dot{b}) o \Phi(\bar{c};\dot{d}).

Y a-t-il une astuce ?

Posté par
manu_du_40re : groupes diédraux 06-01-21 à 18:39

Merci à vous deux. Le produit semi-direct et la présentation d'un groupe ne me parlent pas trop mais je vais essayer de regarder si je trouve de la littérature là-dessus.
Merci encore
Manu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !