Salut à tous,
Je n'arrive pas à démontrer le théorème suivant:Soit g:E->R où E inclus dans R. Si g est monotone sur E et si g(E) est un intervalle alors g est continue sur E
Merci d'avance
J'ai voulu faire le malin avec latex mais cela n'a pas marché

Bonjour

Hum , on peut appliquer le théoréme des valeurs intérmédiaires non ?


jord

quelles sont les hypothèses de ce théorème??

_{que g soit continue}

Bon excusez moi si je n'ai pas le niveau Capes !

bonsoir ,
je te conseille d'aller voir le site mégamaths:

il dois y avoir la solution

Si g(E) est un intervalle (ie: F=g(E) est connexe)
g est monotone (spdg croissante)
Supposons qu'il existe une discontinuité, que se passe t il en ce point?

Je crois deviner que tu auras besoin de cela pour prouver ceci :
Soit une fonction f continue sur I et strictement monotone
Alors sa fonction réciproque existe et est strictement monotone sur f(I) (de même sens de monotonie que f)
De plus, est continue sur f(I)
Plus précisément, la continuité de la fonction réciproque, non ?

Une façon de faire est de revenir à la définition même de la continuité (en tout point a de l'intervalle), en distingant deux cas : a est dans l'intervalle ouvert et a est une borne de l'intervalle, c'est-à-dire prouver que :

euh Manpover, à mon avis, matmat81 veut faire plutôt le contraire
montrer d'abord la propriété
Soit g:E->R où E inclus dans R. Si g est monotone sur E et si g(E) est un intervalle alors g est continue sur E

puis ensuite, l'utiliser pour montrer la continuité de

tu peux trouver la démonstration dans le lien que j'ai mis et plus précisément : ici
à la 6ème et 7ème page

Bah, j'ai du mal m'exprimer alors car je suis pleinement d'accord avec toi muriel. En effet, matmat81 aura besoin de cela (le résultat à prouver dans de fil) pour prouver ceci (la continuité de ).

Par contre, dans ton lien, la démo en question passe inutilement par un autre théorème (Thm de la limite monotone) alors qu'on peut le prouver directement via la définition seule de la continuité.
Laissons un peu chercher matmat81... au besoin je posterais la démo complète.

re ,
en fait, je crois plutôt que c'est moi, qui est mal lu (la fatigue )
il est vrai que l'on peut éviter de passer par le th. de la limite monotone (qui n'est pas évidante à démontrer)
dans le lien que j'ai donné, il y a la démonstration dans l'une des page.
je pense qu'il faut l'avoir faite au moins une fois, pour la comprendre.
personnellement, elle n'est pas difficile, si on regarde ce que cela donne géométriquement (mais c'est mon avis )

Merci à tous pour vos aides, je vais essayer de trouver.
Au pire si je n'y arrive pas, je ferai appel à Manpower qui à trouver une démonstration