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help nb premiers

Posté par Djeffrey (invité) 11-09-05 à 19:21

Bonjour, j'aurais besoin de vos services pour un petit exo d'algèbre sur les congruences...

Soit p un nombre premier impair.

a) J'ai montré (grace a vous ) le théorème de Wilson : (p-1)!-1 (mod p).

b) Je dois montrer, et c'est plus problematique, que pour tout entier relatif u premier avec p, u^{\frac{p-1}{2}} est congru à (+ ou -)1 modulo p; à 1 si et seulement si u est un carré modulo p.

c) Pour u premier avec p, on note (\frac{u}{p}) l'entier (+ ou -)1 congru a u^{\frac{p-1}{2}} modulo p; et pour u multiple de p, on pose (\frac{u}{p})=0. Montrer que : (\frac{uv}{p})=(\frac{u}{p})(\frac{v}{p}) pour tout couple (u,v) de Z2

Rien qu'au niveau de l'énoncé c'est spécial...
Merci  a tous si vous voyez la faille

Posté par titimarion (invité)re : help nb premiers 12-09-05 à 13:09

Salut
pour le b) est-ce que tu sais que u^{p-1}=1 modulo p, si oui c'est facile de montrer que u^{\frac{p-1}{2}}=\pm 1 et la suite de la question aussi.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:help nb premiers 12-09-05 à 13:24

Bonjour Djeffrey;
b)notons:
\mathbb{F}_p le corps (\{\bar{0},\bar{1},..,\bar{p-1}\},+,\times).
\mathbb{F}_{p}^{*}=(\{\bar{1},..,\bar{p-1}\},\times) le groupe multiplicatif du corps \mathbb{F}_p.
on sait que \mathbb{F}_{p}^{*} est cyclique d'ordre p-1.(pour la preuve voir topic "propriété du ppcm" page 29)
si u\in\mathbb{Z} est premier avec p alors \bar{u}\in\mathbb{F}_{p}^{*} et donc {\bar{u}}^{p-1}=\bar{1} (lagrange).
ainsi comme p est impair,\frac{p-1}{2} est un entier et on a donc ({\bar{u}}^{\frac{p-1}{2}})^2=\bar{1} d'où \fbox{{\bar{u}}^{\frac{p-1}{2}}=\pm\bar{1}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:help nb premiers 12-09-05 à 13:53

b)suite:
supposons maintenant que \fbox{\bar{u}^{\frac{p-1}{2}}=\bar{1}} et considérons l'application:
\fbox{\phi:{\mathbb{F}_{p}}^{*}\to{\mathbb{F}_{p}}^{*}\\x\to x^2} c'est un morphisme de groupe (facile à vérifier) de noyau \{\bar{1},\bar{-1}\} ainsi Im\phi=l'ensemble des carrés de \mathbb{F}_{p}^{*} en est un sous groupe d'indice 2 (d'ordre \frac{p-1}{2})
considérons maintenant l'application:
\fbox{\psi:{\mathbb{F}_{p}}^{*}\to{\mathbb{F}_{p}}^{*}\\x\to x^{\frac{p-1}{2}} c'est aussi un morphisme dont le noyau contient Im\phi d'où les deux possibiltés:
\fbox{Ker\psi=\mathbb{F}_{p}^{*}\\Ker\psi=Im\phi}
la premiére est impossible puisque \mathbb{F}_{p}^{*} étant cyclique,il contient au moins un élément d'ordre p-1.
on a donc \bar{u}\in Ker\psi=Im\phi c'est à dire que u est bien un carrée modulo p.
CQFD

Posté par Djeffrey (invité)re : help nb premiers 12-09-05 à 18:42

je t'ai compris elhor, merci beaucoup...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:help nb premiers 13-09-05 à 15:10

c) on voit bien que:
\fbox{\forall u\in\mathbb{Z}\\(\frac{u}{p})=\psi(\bar{u})}
conclure


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