Bonsoir robby3

Pour la 1), commençons pas le sens droite-gauche.
D'habitude, comment procède-t-on pour montrer qu'une famille est libre ?

Kaiser

salut Kaiser, eh bien pour montrer que les li sont libres, on prend des scalaires ai non tous nuls et on montre que ai*li(x)=0 pour tout x implique que les ai sont tous nuls...

enfin je veux dire la somme des ai/li(x)...
a1*l1(x)+...+ap*lp(x)=0 => ai=0

lol oui mais la j'ai écris n'importe quoi!!! lool
famille libre<=>somme des ai*li=0 => ai=0 c'est bien ça...

Alors, as-tu trouvé quelque chose ?

Kaiser

non pas trop, si 'lon démontre l'implication ("inverse"), on part de il existe x dans E tel que l1(x)+...+lp(x)=a1+....+ap et il faut que je montre que pour tout scalaire (b1....bn) de K^n on a b1*l1+...+bp*lp=0=> bi=0  mais je vois pas trop le lien, j'arrive pas à trouver un rapport

Tu utilises une hypothèse trop faible.
Remarque que cette implication gauche-droite revient exactement à montrer qu'une certaine application linéaire est surjective.
Quelle est-elle ?
(je trouvais que cette implication n'était pas forcément simple à traiter en premier, c'est pourquoi je voulais commencer par l'implication inverse, mais c'est toi qui voit)
Kaiser

lool attend Kaiser, c'est quelle implication que tu veux montrer en premier?? parce que moi je ne voit aucune des deux donc commençons par celle que tu pense etre la plus facile...
droite-gauche: on part de il existe x dans E tel que li(x)=ai...c'est bien ça??

C'est ça.
C'est celle qui, selon moi, est la plus simple à montrer.
Considérons donc p scalaires tels que pour tout x et montrons que ces scalaires sont nuls.
Cette égalité est vraie quel que soit x.
Ainsi, en choisissant x de manière judicieuse, on pourra aboutir à ce résultat.
À ton avis, comment pourrait-on choisir x en utilisant bien sûr l'hypothèse.

Kaiser

euhh si on prend x=0, on a que li(0)=ai...
j'ai peur de dire une grosse bétise mais li(0)=0??parce qu'en faite on sait pas grand chose sur les li..., ils appartiennent à (E*)^p...

Pour x=0, cela n'apporte aucune information car on aboutit à 0=0.
Par exemple, montrons que .
L'idéal, c'est que pour un certain x, en évaluant l'égalité , à gauche on tombe sur . Comment faut-il donc choisir x pour y arriver (encore une fois utilise l'hypothèse) ?

Kaiser

l'hypothèse c'est que li(x)=ai, il faut qu'on trouve donc
x tel que somme des ai*li(x)=a1...c'est ça??

si on choisit x=e1...est ce que l'on a1*li(e1)=ai??

a1*li(e1)=a1??

Avant d'aller plus loin, tes ne sont pas les mêmes que ceux de l'énoncé (ils n'ont rien à voir).
L'hypothèse est que si tu te donnes des scalaires quelconques, alors il existe un vecteur x tel que pour tout i .

Sinon,

x est un vecteur de E de dimension n donc x=(1,0,0,0....,0) nfois...a t-on alors l1(x)=1 et li(x)=0 pour i vriant de 2 à p??

Pas forcément.
Par contre, par hypothèse on sait qu'il existe un vecteur x tel que les conditions soient vérifiées.

Kaiser

je nage la...je sais qu'il existe x tel qu'il vérifie les conditions que tu mentionnes,il faut le trouver ce x, tel que l1(x)=1 et li(x)=0, x est dans E donc c'est un vecteur..., ce n'est pas (1,0,...,0),ça veut rien dire si je met x=l1...?? parce que ce truc ça resemble au symbole de kronecker mais je vois vraiment maisl alors vraiment pas comment on le prend ce x ...

En fait, on ne sait absolument pas quelle est la tête de vecteur mais c'est pas grave : on sait qu'il existe, donc pas besoin de l'expliciter.

Kaiser

ok donc, la premier inclusion est ok...maintenant, on suppose les li libre cad il existe (a1...ap) de K/ a1*l1+...+ap*lp=0 et on veut montrer qu'il existe x/ li(x)=ai...une petite piste peut-etre...(pff vraiment cet exo je coule, je sais pas comment commencer, j'écris les égalités mais je vois rien....

Je te sens un peu perdu !

lol oui je suis complétement paumé la, et je vois vraiment pas qu'est ce que viens faire la surjectivité de phi ici??
phi injective ça veut dire ai dans K^p,il existe x dans E  tel que phi(x)=ai... donc oui je suis d'accord,ok.

Pour l'injectivité, on aura du mal à la démontrer (car c'est faux en général).
Sinon, tu ne vois pas pourquoi montrer l'implication gauche-droite revient à montrer la surjectivité de (car c'est exactement la définition de la surjectivité).

En effet,


signifie exactement que



Kaiser

si si je suis d'accord, je me suis trompé, je voulais mettre surjective, dsl, je suis d'accord avec ce que tu a marqué à 22:18.

OK !
Je t'épargne la démo de la linéarité de cette application.
Montrer qu'elle est surjective revient à montrer que son rang est égal à p.
Une idée pour montrer ça ?

Kaiser

euhh vraiment aucune...le dim Ker phi=0??
c'est pas plus facile de montrer que dim Ker phi=0...??

Justement, elle n'est pas injective (si p est différent de n, mais bon ici, on s'en occupe pas).
Par contre, ce que l'on peut faire c'est calculer la dimension du noyau.

Kaiser

ahh oui?? oué bah...je reviens à la définition:
Ker(phi)={x dans E/phi(x)=0} cad chaque li(x)=0 ...aprés je sais pas, je vois pas...vraiment dsl

C'est ça.
Plus précisément, on aboutit à un système linéaires de p équations linéairement indépendantes car les forment une famille libre.



On sait alors calculer exactement la dimension de l'espace des solutions de ce sytème en fonction de p.

Kaiser

oulalala...la dimension de l'espace des solutions de ce système??ce serait p-1 (à tout hasard lol)

Non !
Je voulais dire en fonction de n et p où n est la dimension E.

Kaiser

lol alors n-p...au grand hasard aussi,non mais,plus sérieusement,je vois vraiment pas ...la solution de l1(x)=0 est-elle la meme que celle de lp(x)=0??

C'est bien n-p.
L'explication est la suivante : on a affaire à un système de rang p.
Ce système peut se mettre sous forme matricielle où A est une matrice de et X une matrice colonne de taille n.
L'ensemble des X tels que AX=0, c'est exactement le noyau de la matrice A qui est de dimension n-p car A est de rang p.
Tu me suis toujours ?

Kaiser

je suis d'accord que le rang du système est p, je suis d'accord sur A*X=0...aprés dire que ça c'est le noyau de A ok mais dimension n-p ??A est de rang p et X est de rang n donc rang Ker A=n-p?? c'est de la que ça vient??

oui oui dim Ker A lol dsl...ok d'accord, je suis mieu la, du moins je comprend mieu d'ou ça vient...donc dim ker phi=n-p...

OK !
à présent, quel est donc le rang de ?

Kaiser

le rang de phi bah c'est p non??th du rang c'est la meme non??donc phi est bijective et c'est fini...lol??

pas bijective, seulement surjective et là on a bien montré ce que l'on voulait.

Kaiser

loloui oula la je suis fatigué je crois, lol c'est à force de lire le topic ou il y venousto lool, dsl Kaiser.
Merci beaucoup vraiment pour ton énorme patience parce que la j'ai bien mais alors bien bien ramé.
je posterais une autre fois pour l'autre exercice lol, parce que la je sens que tu en as marre et moi je commence aussi lol donc vraiment merci beaucoup de ton aide toujours trés précieuse.
Merci et à bientot (encore dsl j'ai vraiment été nul aujourdhui)

Mais je t'en prie !

Ne t'inquiètes pas je n'en ai pas marre mais c'est vrai qu'une pause n'est pas de refus !
La nuit porte conseil !

Kaiser

lool oui c'est vrai, merci, je vais voir si Venousto me fournit des explications valables...il est interressant ce monsieur
Merci et à bientot sur l'ile.

cherche sur google avec le mot clef venousto

T'es revenu venousto?

oui

le vid n'existe pas c'est de la matiere non interagissante
tout simplement
souvient toi d'une loi de physique
la nature a horreur du vid
puis si il il y a de l'energie dans le vide
c'est qu'il n'est pas si vide

mon moteur infinie
la bac a eau relié à un robinet rempli d'une matiere absorbante
bouclant vers la bac a eau avec au bout du robinet de la nanotechnologie
pour faire goutter
il y a plu qu'a mettre une turbine electric entre le bout du robinet et le bac a eau

en fait deux force superlisse s'oppose
la gravitationn contre la capilarité

il fo vraiment etre idiot pour pas avoir pri consience que la nanotechnologie
est l'avenir elle va servir à ralentir le veil;lissement humain