Bonjour,


Je ne sais pas si ton topic est toujours d'actualité... Je ne suis pas certain non plus que ton sujet soit bien défini... Quelques pistes.




Distinguer entre le concept de division et algorithme de division
Un algorithme de calcul est une suite de manipulations qui vont conduire "automatiquement" à un résultat: par exemple la technique avec la "potence".

Un algorithme de division n'est pas forcément numérique. Lorsqu'à un jeux de cartes, on distribue, on réalise bien une division en acte sans utiliser de nombre.

Mais le fondement de la division est à rechercher dans l'idée de partage en parts égales.
Pour se partager équitablement un paquet de gâteaux indiquant sur le couvercle "28 pièces", quatre jeunes enfants en prendront un chacun et recommenceront jusqu'à qu'il n'en reste plus.
Ils ont bien le sens de la division: ils savent que le partage sera équitable, ils pourront nommer le résultat par un nombre...

Manipuler les fractions, c'est déjà utiliser le concept de division.
Les fractions ont été utilisées bien avant les Euclide: babylonniens, égyptiens, ...


Enseigner la division en primaire c'est d'abord travailler sur le sens, puis sur une technique (limité au cas de la division par un entier).
Cette distinction entre concept et technique est essentiel: apprendre la division ne se limite pas à tracer des potences et aligner des nombres.

Aujourd'hui beaucoup d'élèves ne maitrisent pas d'algorithme de division ... c'est sans doute dommage. Par contre, ce qui est dramatique, c'est quand ils n'ont pas compris le concept de division. La notion de proportionnalité, de partage se retrouve au coeur de nombreux chapitres de collége: décimaux, fractions, Thalés, trigonométrie, fonctions linéaires et affines, ...




A propos des techniques de division
Un historique par Jeanne GUIET des algorithmes de division est paru dans les numéros 57 et 58 de la revue "Grand N" édité par l'Irem de Grenoble.

L'algorithme enseigné en France au cours du XX siècle est "l'algorithme Galley". Il a l'inconvénient d'être très automatisé donc de cacher le sens notamment:
- les essais de multiplications (en 23 combien de fois 7)
- les soustractions intermédiaires ne sont pas posées
On peut se demander s'il est encore adapté à l'ére des calculatrices: il cache le sens, les divisions réellement posées sont moins compliqués, ...

Un exercice intéressant en primaire et en début de collège est de demander s'il est possible avec une calculette de diviser 437 par 23 sans utiliser la touche "diviser" et la touche "multiplier".




Qu'a inventé Euclide ?
Pour les grecs, le statut de nombre était ancré dans la géométrie.

L'algorihme d'Euclide, lorsqu'il se termine, permet de trouver une commune mesure à deux longueurs.
En partant de deux segments donnés, il permet de trouver un segment qui se reporte un nombre exact de fois dans chacun des deux.
Dans ce cas où l'algorithme se termine, le rapport des longueurs initiales est un nombre rationnel.
Quand les longueurs initiales sont entières, la longueur de ce segment ayant une commune mesure avec les deux initiaux est le pgcd des deux longueurs au sens actuel.


Les grecs ont démontrés que l'algorithme ne se termine pas toujours. Dans ce cas, le rapport des longueurs est irrationnel.
Par exemple, il n'existe pas de commune mesure entre la diagonale d'un carré et la longueur de son côté.
Mais l'algorithme peut conduire à un calcul de valeur approchée. Dans notre exemple, à une valeur approchée de

L'apport d'Euclide est, à mon avis, plus à situer du côté de la nature des nombres que du côtés des techniques.

Le théorème de Thalès est lui aussi intimement lié au partage d'un segment en segments égaux.




En conclusion
Il me semble que tu devrais mieux définir ton sujet.
Techniques de divisions ?
Algorithme et nature des nombres ?
Ancrages géométriques de la division ?
Le concept de divisions ?
...

Enfin, je ne prétends pas détenir la vérité et espère ne pas avoir dit trop de bétises.
En espérant avoir fait avancer ta réflexion...