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Homothéties translations

Posté par
cmaths12345
27-03-20 à 14:02

Bonjour à tous ,

Soient~ E ~un ~espace~ affine~ O~ \in ~E ~et~ \overrightarrow{u} \in \overrightarrow{E}. \\ On ~considère ~la~ translation ~de~ vecteur~ \overrightarrow{u} ~et~ l'homothetie~ h_{O,k} ~de ~centre ~O ~et ~de~ rapport~ k. \\ Quelle ~est~ la ~nature ~de ~l'application~ t_{\overrightarrow{u}} \circ h_{O,k} \circ t_{\overrightarrow{u}}~ et ~donner~ les elements ~qui ~definissent ~cette ~application.


Merci de votre aide !

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:05

Salut cmaths12345.
As-tu essayé quelques cas concrets ?

Posté par
cmaths12345
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:18

J'ai déjà commencer par poser f=h_{0,k} \circ t_{\overrightarrow{u}} et j'ai cherché un éventuel point fixe A pour f et j'ai trouvé  que f est homothétie de centre A et de rapport 1/k

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:21

Que penser de la droite passant par O et de vecteur directeur \vec u par une telle application ?

Posté par
verdurin
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:39

Bonjour,
juste une question à propos de l'énoncé.

Est-ce l'application ne serait pas plutôt
t_{\vec{u}} \circ h_{O,k} \circ t_{-\vec{u}}
ou
t_{-\vec{u}} \circ h_{O,k} \circ t_{\vec{u}}
(on remplace un \vec{u} par -\vec{u}) ?

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:43

Bonjour verdurin
Effectivement, j'y ai pensé ... ça serait nettement plus classique.
Néanmoins, l'énoncé peut aussi se faire, puisque ça donne une similitude.

Posté par
cmaths12345
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:49

L'énoncé est bien celui du premier message que j'ai posté

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:53

Ton application a un point fixe ...

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:55

... si k n'est pas égal à 1, bien entendu.

Si k = 1, il s'agit de la translation de vecteur 2\vec u
Si k = 0, il s'agit de l'identité.

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 14:57

Si \vec u = \vec 0 alors il s'agit de l'homothétie de centre O et de rapport k.
Je crois que les cas particuliers sont traités.

Donc maintenant, k \neq 0, k \neq 1 et \vec u \neq \vec 0

Posté par
cmaths12345
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:07

Merci pour les cas particuliers j'ai bien compris. Ensuite pour la recherche d'un point fixe A je suis arrivé à \overrightarrow{OA}=\frac{k+2}{1-k}\overrightarrow{u}

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:07

Tu peux toujours écrire pour tout P \in E :

h_{O,k}(P) = O + k\vec{OP}=(1-k)O+kP

t_{\vec u}(P) = P + \vec u

Donc

(t_{\vec u}\circ h_{O,k} \circ t_{\vec u})(P) = (t_{\vec u}\circ h_{O,k} )(P+\vec u) = \cdots

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:08

cmaths12345 @ 27-03-2020 à 15:07

Merci pour les cas particuliers j'ai bien compris. Ensuite pour la recherche d'un point fixe A je suis arrivé à \overrightarrow{OA}=\frac{k+2}{1-k}\overrightarrow{u}

J'ai trouvé \overrightarrow{OA}=\frac{k+{\red 1}}{1-k}\overrightarrow{u}

Posté par
verdurin
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:13

@cmaths12345 c'était juste une question, il est facile d'oublier un signe moins.
Et en le rajoutant c'est un grand classique.
C'est pourquoi je l'ai posée.

@jsvdb je ne suis pas d'accord avec le cas particulier k=0.
Je crois que dans ce cas on a une application constante.
Mais je ne sort plus à ça me dérange la tête.

Posté par
cmaths12345
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:23

@verdurin Oui je comprends tout à fait en tout cas sur ma feuille de TD il n'y a pas de signe moins. J'espère qu'il n'a pas été oublié

Posté par
jsvdb
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:23

@verdurin tu as raison, pour k = 0, il s'agit de l'application constante P \mapsto t_{\vec u}(O)

jsvdb @ 27-03-2020 à 15:07

Donc

(t_{\vec u}\circ h_{O,k} \circ t_{\vec u})(P) = (t_{\vec u}\circ h_{O,k} )(P+\vec u) = \cdots


\cdots = t_{\vec u}((1-k)O+kP+k\vec u)=(1-k)O+kP+k\vec u+\vec u=[O + k \vec{OP}]+[(1+k)\vec u]

Donc

t_{\vec u}\circ h_{O,k} \circ t_{\vec u}= t_{(1+k)\vec u}\circ h_{O,k}

Au passage, on retrouve bien le fait que si k = 0, alors \forall P \in E, (t_{\vec u}\circ h_{O,k} \circ t_{\vec u})(P) = t_{\vec u}(O)

Posté par
cmaths12345
re : Homothéties translations 27-03-20 à 15:25

@jsvdb
Oui en effet, merci beaucoup !



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