3x^2 -y^2 +2x +1=0
Humm
.y² = -3x² - 2x -1
y² = 3x² + 2x +1
y1 = (3x² + 2x +1) et
y2 = -(3x² + 2x +1)

y1 est symetrique à y2 par rapport a l'axe des abscisses.

Mais de maniere plus générale, une hyperbole est un truc de la forme :

(x-a)² - (y-b)² = K² , ou et I de
coordonnées I(a;b) est le centre de symetrie de l'hyperbole.
Si on a:
# (x-a)² - (y-b)² = K²
_  L'hyperbole est "horizontale"
# (y-b)² - (x-a)² = K²
_  L'hyperbole est "verticale".

Ici on a :
3x² -y² +2x +1=0
3x² + 2x + 1 - y² = 0
3(x²+2x/3) - y² = -1
(x+1/3)² = x² + 2x/3 + 1/9 , soit:
x² +2x/3 = (x+1/3)² - 1/9
Donc  de 3(x² +2x/3) - y² = -1 , on peut ecrire:
3((x+1/3)² - 1/9) -y² = -1
3(x+1/3)² - 1/3 - y² = -1
3(x+1/3)²  -y² = -2/3
-(9/2)*(x+1/3)² +(3/2)*y²= 1 soit
(3/2)*y²- (9/2)*(x+1/3)²  = 1

Donc Il s'agit bien d'une hyperbole "verticale" , de centre
de symetrie I(-1/3;0).
(je crois que I porte un autre nom, mais je ne m'en rappelle pas)


Ghostux

3x² -y² +2x +1 = 0
y² = 3x²+2x+1
y = (3x²+2x+1)

il faut étudier les variations de la fonction :
f(x) = (3x²+2x+1)
f est définie SSI 3x²+2x+1 0
= 4-4(3)
= -8
3x²+2x+1 n'a pas de racines dans .
3x²+2x+1 est toujours positif sur .

f est définie sur .

f est dérivable sur .
f'(x) = (3x+1) / ((3x²+2x+1))
on a prouvé que (3x²+2x+1) > 0

signe de 3x+1 :
3x+1 < 0 ssi x < -1/3
3x+1 = 0 ssi x = -1/3
3x+1 > 0 ssi x > -1/3

f'(x) < 0 ssi x ]-;-1/3[
f'(x) = 0 ssi x = -1/3
f'(x) > 0 ssi x ]-1/3;+[

f décroissante sur ]-;-1/3[
f croissante sur ]-1/3;+[

Donc la fonction f(x) = (3x²+2x+1) est une hyperbole,
et donc ta fonction 3x² -y² +2x +1 = 0 est une hyperbole.

sauf erreurs de calcul...
a+

ah bah jai oublié l'autre condition...
bah c'est le meme principe que pour l'autre...

désolé
a+

merci
je continu mais revision et si je peux me permettre , je pense vous
solicité à nouveau.....
surtout sur les fonctions complexes , je nage un peu....