Pardon, j'ai fait une erreur dans la description et dans le titre, lire hyperbole et non parabole ....

Bonjour,

Merci pour les modifications, voici l'énoncé:
On considère la fonction inverse f(x)=1/x et deux points A et B d'abscisses respectives a et b strictement positives appartenant à sa représentation graphique.
1. Donner les coordonnées des points A et B ...

L'équation réduite est ainsi (AB):

Bonjour,
On admet que l'équation aie une solution en entiers naturels non nuls.
La corde passe par le point
Voici la situation :

A étant le "premier" point de la corde, quelles peuvent être ses abscisses entières ?

Pas "aie" mais "a"  

Ah d'accord, la solution s'appuie exclusivement sur un raisonnement graphique.
Vu comme ça, par disjonction de cas sur :
si a=1 alors (DA) intersecte la courbe une et une fois donc (DA) n'est pas une de ses cordes.
si a=2, même problème (DA) n'est pas une corde.
si a 3 alors
Donc la seule solution entière est .
Merci !

Ce que j'ai écrit ne colle pas à l'exo, j'ai répondu de manière analytique.
On justifie graphiquement que "le premier point d'intersection" A ne peut prendre que 1 ou 2 comme valeurs entières (et pas 1 car (DA) serait horizontale donc ne serait pas une corde, pas 2 car les entiers seraient égaux). Donc donc a non entier.

C'est de cette façon là (19h40) que je l'avais senti.
Est-ce ce qui est attendu ? Probable mais pas absolument sûr ...

Je me suis abstenue car je n'arrivais pas à faire intervenir l'arc d'hyperbole.
Je ne vois toujours pas de lien entre les questions 3 et 4.

Sinon, en supposant 0 < a < b :
Si a = 1 alors 1/a + 1/b > 1.
Si a 2 alors b 3.
D'où 1/a + 1/b 1/2 + 1/3 < 1.

Serait-il plus intéressant de travailler, avec les deux arcs de l'hyperbole, dans au lieu de ?
Les calculs pour 1) 2) et 3) sont les mêmes.

Bonjour Sylvieg,

... Mais je reconnais que j'ai tordu le bras,  la branche d'hyperbole pour obtenir quelque chose d'assez filandreux.
Je le répète : je ne suis pas sûr que ce soit la solution attendue

Oui, j'avais remarqué
Je crois avoir fini par comprendre :
Avec E(1;1), C(2;1/2) et D(0;1).
D'après le graphique, les droites issues du point D sont des cordes, c'est à dire coupent l'arc d'hyperbole en deux points distincts, si et seulement si le premier point est entre les points E et C ; donc d'abscisse strictement comprise entre 1 et 2.

Messages croisés

Oui, oui : c'est exactement comme ça que je l'avais pensé.
J'ai regretté par la suite ne pas avoir fait figurer sur le dessin la demi droite en rouge (deuxième corde limite)

Et puis il y a autre chose : jbsph a posté dans le "niveau seconde"
On est bien obligé de parler de la tangente en à l'hyperbole à un moment ou à un autre.
Il serait intéressant de savoir de quel bouquin cet exercice est extrait.

Oui, mais jbsph poste souvent à un niveau nettement supérieur.

L'exercice est extrait du manuel sesamaths 2023 de 2nde, chapitre droites du plan et systèmes d'équations. La notion de tangente sera introduite en 1re et l'exercice fait partie de la rubrique approfondissement donc il assez probable que la méthode attendue soit celle "des cordes limites"? En tout cas cette méthode suit la logique du "en déduire".
Je prépare le capes donc je prépare des exercices niveau collège-lycée. Comme cet exercice est tiré d'un livre de 2nde j'ai indiqué niveau 2nde. Dans ce cas doit-on quand même mettre son niveau d'études?

Merci du retour
Tu as bien fait de poster en niveau seconde.
Peut-être alors indiquer le contexte dans ton premier message ?

Je pense que l'exercice pourrait être posé avec l'hyperbole entière.
Avec quelque chose du genre si a < 0 < b alors b < 1.

Bonjour et merci du retour aussi
Mézalor, il me semble que la solution avec les cordes limites n'est pas celle attendue :
Comment un élève de seconde pourrait-il pondre que la tangente issue de à la branche d'hyperbole est précisément sa tangente en   ?
À moins qu'on attende du "visuel" ???

Oui, c'est "tiré par les cheveux".

D'accord, je ferai comme ça si j'ai d'autres posts de ce type. C'est pas faux ce raisonnement est graphique ...
J'ai peut-être une autre solution:
Soient . L'équation de la corde D en question est donc D:, donc
Donc par la question 3) ab=a+b.
Résolvons cette équation:
a=1: impossible car b b+1 pour tout b
a=2 b=2 donc cette solution n'est pas dans l'ensemble considéré par la question.
si a >2 : ab= a+b n'est pas entier.
Donc il n'y pas de solutions entières distinctes.
On a utilisé de l'algèbre mais en s'appuyant sur les résultats des questions précédentes. Mais on aurait pu déduite ab = a+b directement de l'équation 1/a + 1/b=1

C'est sûr.
Il y a peut-être cette idée de solution (qui demande un RON et que je n'arrive pas à mener jusqu'au bout):
Considérons les points D(0,1), F(a+b,0) et supposons le repère orthonormé.
Alors
Par l'absurde: supposons a et b deux élts de donc DF^2 s'écrit comme un carré parfait augmenté de 1 donc , il faut maintenant trouver une contradiction là dessus. J'ai essayer en décomposant DF=DA+AB+BF mais les calculs sont laborieux et je n'arrive pas à prouver que le nombre obtenu n'est pas entier ou pas carré parfait+1

*essayé