Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Hyperplans d'appui
Bonjour
C'est du même genre que 
Element de norme minimale.
Soient E un R-espace vectoriel, A une partie non vide de E et H un hyperplan d'équation u(x)=a (u est une forme linéaire sur E et a un réel). On dit que
H est un hyperplan d'appui de A si et seulement si et si u(x)-a garde un signe constant pour x décrivant A.
1) Soient E un espace vectoriel normé, A une partie compacte non vide et H un hyperplan fermé. Montrer qu'il existe au moins un et au plus deux hyperplans d'appui de A parallèles à H.
2) On se place dans l'espace de Banach (c0) formé des suites (xn) qui tendent vers 0, normé par la norme de la convergence uniforme . Soit u la forme linéaire définie par
et soit B la boule de centre (0) et de rayon 1.
Montrer qu'il n'existe aucun hyperplan d'appui de B d'équation u((xn))=a.
En prime pour ceux qui ont lu jusqu'ici. Quelqu'un qui revenait d'un congrès à Prague à une époque où ce n'était pas si courant racontait: Il y a à Prague une place Banach, devant mon hôtel il y avait un autobus qui y allait, mais je n'ai jamais pu le prendre, il était toujours... complet.
je post pas pour répondre à l'exercice qui n'est pas de mon niveau mais juste pour dire que j'aime bien l'anecdote!
Laurent Schwartz (celui qui a créé la théorie des distributions) a vécu cette histoire à Varsovie. Il a écrit qu'il racontait systématiquement cette anecdote pendant ses cours, à l'Ecole Polytechnique et qu'elle avait beaucoup de succès.
Deux anecdotes sur Banach:
Banach avait un grand prestige auprès des jeunes ; il les emmenait travailler dans un café modeste, le Café Ecossais. Les problèmes intéressants qui y étaient débattus, étaient consignés dans un cahier connu aujourd'hui sous le nom de " Cahier Ecossais ". Les séances au Café Ecossais étaient de vrais marathons, jusqu'à 17 heures, selon Ulam, ponctuées de nombreux bocks de bière..
(tiré de l'adresse Internet: www.cijm.org/Docupload/fichiers/PL1.pdf )
La deuxième anecdote est beaucoup plus triste.
Saks avait été tué comme beaucoup de Polonais: les Allemands barraient quelque rue et toute personne se retrouvant entre les barrières était fusillée.
Banach est décédé en 1945, peut-être d'un cancer mais nul ne savait exactement. On racontait à son propos une histoire. Il portait sur lui une petite boîte remplie de poux ouverte contre la peau. Les poux se nourrissaient du sang de leur hôte. Pour les allemands, le but de cette expérience était la fabrication d'un vaccin contre le typhus. Toute personne acceptant de porter une telle boîte avait la vie sauve si jamais elle se retrouvait coincée comme Saks l'avait été.
tiré de la conférence de Helson dans "leçons de mathématiques d'aujourd'hui" aux éditions Cassini , page 225 dans l'édition de l'année 2000, dont je dispose
Comme vous voyez, les anecdotes circulent... En fait je crois que moi je l'ai entendue par Samuel Eilenberg...
Et les hyperplans?
Bonjour.
16 ans après, je propose une réponse à cet excellent exercice de Camélia.
Il y avait une petite incertitude dans l'énoncé due à une erreur de l'interpréteur Latex ou à mon ordinateur. Je la rectifie ici.
Je passe maintenant à la solution de l'exercice.
Première question
Si
Si
Deuxième question:
On remarque que
Il est facile de montrer que:
De plus, si on considère la suite
alors, on a :
Ce qui précède est suffisant pour affirmer que
Annuler
connectez vous
géométrie en post-bac