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Element de norme minimale
Salut,
on sait que tout ensemble convexe fermé dans un espace de Hilbert possède un élément de norme minimale.
Je propose deux questions que je trouve particulièrement intéressantes:
1- Trouver un ensemble non vide et fermé dans un espace de Hilbert et qui ne possède pas d'élément de norme minimale.
2- Trouver un ensemble non vide, fermé et convexe d'un espace de Banach qui ne possède pas d'élément de norme minimale.
Ce n'est pas (si) difficile.
a+
Bonjour,
en effet, mais je n'ai pas fait assez de topologie pour répondre ou même comprendre cet énoncé ! 
Salut jeanseb.
Merci de faire remonter, mais peu de gens semblent intéressés.
D'une autre coté, ceux qui le sont connaissent surement déjà la réponse ...
Bonsoir,
pour le 1) on considère une famille (en) orthonormale dénombrable dans un hilbert.
Ensuite on prend l'ensemble
alors :
1)1 est la borne inférieure des normes des éléments de F mais aucun n'est de norme 1
2) F est fermé (car son complémentaire est ouvert)
Le problème c'est que j'ai un doute sur le fait que F soit fermé.
Salut,
c'est l'ensemble que je considère aussi.
Pour montrer que c'est un fermé, ce n'est pas tellement difficile.
En général, si tu as un ensemble F tel qu'il existe m pour tout x et y vérifiant
d(x,y)>m
sauf pour x=y
alors F est fermé si je ne dis pas de bétise.
Ici, comme tes e_n sont orthonormés, tu peux facilement montrer que la distance de e_i à e_j est plus grande que racine de 2 je crois, sauf si i=j.
a+
Tu as parfaitement raison, énoncé sous cette forme, ça devient évident, merci.
Ce qui reste intéressant aussi c'est de trouver un contre-exemple dans un Banach qui ne soit pas un Hilbert (comme tu le proposais), c'est peut-être moins facile.
Bonjour à tous,
pour le deuxième si je considère l'espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme alors c'est un espace de Banach si je dis pas de bêtises
Pour F je considère l'ensemble des fonctions telles que f(0)=1,alors c'est un convexe non vide,fermé car si une suite de fonctions (f_n) de F converge vers f pour N alors en particulier pour la norme infinie donc ponctuellement.
Ensuite tout élément de F est de norme supérieure à 1 mais ne possède pas d'élément de norme 1,car cela voudrait dire que l'intégrale est nulle ce qui est impossible par continuité des fonctions et du fait que f(0)=1.
Cependant on peut construire une suite de fonctions telles que N(fn)-->1,prendre fn affine sur [0,1/n] et nulle ensuite.
Bien vu, j'avais cherché avec cet exemple mais je n'avais pas pensé à combiner les deux normes, du coup soit les normes des fonctions n'étaient pas strictement supérieures à 1 (avec N infini) soit F n'était pas fermé (avec N1).
Bonsoir à tous.
Je suis de l'avis de Camélia et de jeanseb.
Bravo à Blueberry et Cauchy (et merci à Otto de nous avoir proposé le problème).
En ce qui me concerne, je pensais connaître les solutions, et je me suis aperçu par la suite que ce n'était pas du tout le cas. Du coup, je suis allé rechercher l'article auquel j'avais immédiatement pensé après le post d'Otto. C'est un article de Roger Cuculière dans le Quadrature n°29 (juillet-août-septembre 1997) intitulé:
Deux contre-exemples pour le prix d'un seul.
Dans cet article, Roger Cuculière donne un exemple de:
E espace vectoriel normé complet et un sous-espace fermé H, jouissant de la propriété suivante: quel que soit x dans E-H, il n'existe pas de point x' dans H tel que: d(x,x')=d(x,H).
Ce problème est de même nature que la deuxième question de Otto: si (E,H) est une solution du problème de Cuculière, alors, pour tout x de E-H, (x+H,E) est une solution du problème de Otto.
Réciproquement, à partir de la solution de Cauchy, on peut construire une solution du problème de Cuculière.
Cuculière a trouvé à son problème la solution suivante:
E est l'espace des suites à valeurs réelles, de limite 0, muni de la norme infinie (norme de (x_n)= sup |x_n|)
H est le sous-espace des suites (x_n) de E telles que
La démonstration qu'il donne est très technique, et je ne la reproduirai pas ici (attention, si vous vous procurez la revue, il y a quelques coquilles typographiques, qui m'ont gêné, elles pourraient vous gêner aussi).
Le titre de l'article de Cuculière était:
"Deux contre-exemples pour le prix d'un seul".
Voici donc le deuxième contre-exemple recherché:
Un espace normé complet H et une suite décroissante de parties X_n de H, fermées, bornées, convexes, non vides dont l'intersection est vide.
C'est très surprenant parce que l'on sait que:
Dans un espace normé complet E, si (A_n) est une suite décroissante de fermés bornés non vides, dont le diamètre tend vers 0, alors, l'intersection des A_n est un singleton
Euh ... En fait, je ne le savais pas quand j'ai lu l'article il y a 10 ans (et c'est pour cela que je me souvenais de l'article et que je croyais tout savoir des questions posées par Otto)
Je suis bien entendu intéressé par l'exemple qu'Otto avait en tête et les remarques supplémentaires qu'il pourrait faire.
Bonjour perroquet,
merci pour ces compléments,le deuxième contre-exemple sur l'intersection vide est trop long où tu peux le reproduire ici?
Bonjour, Cauchy.
Non, le deuxième contre-exemple n'est pas très long (si on a trouvé le premier 
). Soit (E,H) une solution du premier problème de Cuculière (ou du deuxième problème d' Otto). Notons d la distance de 0 à H (0 désigne le vecteur nul).
Alors, pour tout n non nul, l'intersection de H et de la boule fermée de centre 0 et de rayon d+1/n est une partie fermée convexe non vide X_n. Et l'intersection des ensembles X_n est égale à l'ensemble vide.
jeanseb : tu peux aller partager ton expérience (à propos d'agreg interne) ici : 
nouvelle ?
Moi aussi l'histoire d'otto m'a rappelé des souvenirs. J'en ai fait un nouveau topic: Hyperplans d'appui
tu nous diras comment c'était ?
Bien je préfère réfléchir tranquille sur ma feuille (dur l'oral quand on est pas habitué
),surtout que l'examinateur était pas très bavard,en fait je savais pas trop quand je bloque si vaut mieux passer ou quand même essayer etc...
Ca passe super vite par contre,on sait pas vraiment si on en a fait assez,raconté des bêtises etc...
Les exos que j'ai eu étaient un peu dans l'esprit de ce topic
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