personne pour me venir en aide ?

Bonsoir neo

Une base de ₅[X] est (1,X,X²,X³,X⁴,X⁵).
Donc l'image de f est engendrée par les f(X^k) avec k=0..5.
Or on voit que si P est de degré n, alors f(P) est de degré n+1.
Ainsi, pour tout k, f(X^k) est de degré k+1. On en déduit que la famille (f(1),..,f(X⁵)) est une suite échelonnée de polynômes. C'est donc une famille libre et c'est donc une famille libre de l'image de f.

Kaiser

merci beaucoup kaiser
salut

Je t'en prie !

Quant au noyau de f, je trouve P=O
je me suis trompé ou pas ?

Non, tu n'es pas trompée. En effet, considérons P un élément du noyau de f.
Alors on a 2X*P=P'.
Supposons que P ne soit pas nul. Notons alors n son degré.
P' a donc un degré égal à n-1 et l'égalité précédente donne alors n+1=n-1 (absurde).
Ainsi, P est le polynôme nul.