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Image par une transformation

Posté par
Laurierie 30-09-05 à 21:29

Bonsoir,
Je me pose quelques question à propos d'une transformation complexe:
z'=z(barre)[ (z-a)/(zbarre-a) ] avec a réel strictement positif et z différent de a.

J'aimerais savoir si deux point distincts du plan ont ils toujours des images distinctes par cette transformation. Pour ma part j'ai étudié z'1=z'2, j'ai donc supposé que deux points ont la meme image, mais j'arrive à une équation compliquée que je n'arrive pas à résoudre.


Deuxiemement comment savoir si tous les points du plan ont un antécédent par cette transformation?

Merci pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Image par une transformation 01-10-05 à 00:01

Bonsoir Laurierie;
Notons f cette transformation:
(*)soit 2$\fbox{z\hspace{5}/\hspace{5}|z|=a\hspace{5}et\hspace{5}z\neq a} alors vu que \bar{z}=\frac{a^2}{z} on a que:
2$\fbox{f(z)=(\frac{a^2}{z})\frac{z-a}{\frac{a^2}{z}-a}=-a} ce qui veut dire que tous les complexes du cercle C(0,a) privé du point a ont la m^me image -a par f:f n'est pas injective.(*)soit 2$\fbox{z'\hspace{5}/\hspace{5}|z'|=a\hspace{5}et\hspace{5}z'\neq-a} alors z' n'admet pas d'antécédant par f.
(car si z\neq a vérifie f(z)=z' on a |z'|=|z|=a et donc d'aprés ce qui précéde que f(z)=-a c'est à dire z'=-a): f n'est pas surjective.

Sauf erreur bien entendu

Posté par
Laurieriere : Image par une transformation 01-10-05 à 19:47

Merci une fois encore Elhor. Je voulais juste te demander, comment tu as fait pour trouver un tel résultat sans calcul? C'est le coup d'oeil qu'il faut avoir?

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Image par une transformation 02-10-05 à 03:23

Bonsoir Laurierie;
C'est que tu as déjà posté cette transformation dans le topic Transformation-Complexe et disons que je m'y suis intéréssé...
On pourrait d'ailleurs se demander si f ne réalise pas une bijection de \Omega=\mathbb{C}-C(0,a) dans \Omega?
je crois que oui et on peut vérifier directement que:
4$\fbox{f^{-1}:\Omega\to\Omega\\z\to\bar{z}\frac{z+a}{\bar{z}+a}}

Sauf erreur bien entendu

Posté par
Laurieriere : Image par une transformation 02-10-05 à 10:32

Ok merci beaucoup pour toutes tes réponses et pour toute ton aide. A++

Posté par
Laurieriere : Image par une transformation 05-10-05 à 20:06

Bonsoir elhor,j'aimerai une petite précision à propos de ta deuxième démonstration sur la surjectivité de cette transformation. Tu pourrais m'expliquer comment tu trouves que si |z'|=a alors z' n'admet aucun antécédent?

Merci Beaucoup encore


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