Bonjour à tous !
Soient X1,..., Xn des ensembles. Montrer que pour tout k entier compris entre 0 et n inclus :
1. Si k est inférieur ou égal à (n+1)/2,
est inclus dans
2. Si k est supérieur ou égal à (n+1)/2,
est inclus dans
Pk(n) désigne les parties de cardinal k de l'ensemble.
Voici ce sur quoi je bloque (et encore, c'est un euphémisme...).
P.S : je suis en Terminale, bien que j'aie couvert le programme de MPSI en maths de mon côté, je n'ai sans doute pas autant d'aisance qu'un élève de maths sup, j'en appelle donc à l'indulgence de quiconque répondra à ce topic (si réponse il y a...) et desire une réponse claire et détaillée. N'hésitez pas non plus à expliciter la signification de l'énoncé pour m'aider à comprendre la résolution, je sens que ça ne va pas être simple... Merci !
malou > mets terminale dans ton profil ! tu n'es plus en 1re...
Bonsoir,
I = H ?
Il me semble intéressant, pour un dans la réunion des , de considérer le nombre de tels que appartient à .
Bonjour GBZM,
En effet c'est une étourderie de ma part, c'est i appartient à H et non pas à I. Je vous remercie pour votre réponse, je vais voir si cette indication me permet d'avancer.
malou > mets terminale dans ton profil ! tu n'es plus en 1re... il n'y aura pas de 3e demande...
(Je m'adresse juste aux admins : j'ai déjà mis mon profil à jour, est-ce que cela apparaît bien ? Normalement cela a bien été enregistré.)
malou edit > * oui, à c'est bon, tu es bien indiqué en terminale* merci
Bon...
Comme chaque ensemble H appartient à Pk(n), cela veut dire qu'il y a (k parmi n) ensembles H possibles, chaque ensemble H contenant k ensembles parmi X1,..., Xn.
x appartient à l'union de k ensembles Xi signifie qu'il appartient au moins à l'un d'entre eux, mais j'avoue ne pas trop comprendre où cela me mène. Notamment, j'ai du mal à me figurer l'intersection de toutes les unions de Xi, notamment car on ne suppose pas que les ensembles X1,..., Xn seraient disjoints, donc même une intersection de deux unions de deux familles de Xi n'ayant rien en commun (par exemple ) n'est peut-être pas vide. Donc comment avoir une idée de l'intersection de toutes les familles ? Peut-être que je prends le problème dans le mauvais sens, mais j'avoue que l'indication de GBZM m'est assez obscure.
Je précise alors :
Soit dans la réunion des . On note le nombre de dans tels que .
Peux tu décrire la propriété " " comme une condition portant sur et ?
Peux tu décrire la propriété " " comme une condition portant sur , et ?
Merci pour cette précision, voici où j'en suis pour l'instant:
Si
alors x appartient à au moins un des donc x appartient à au moins k ensembles Xi. Donc l(x) est supérieur ou égal à k.
Si , j'ai remarqué en prenant quelques valeurs de n et k que l(x) était toujours supérieur ou égal à n-k+1, i.e l(x) est aussi visiblement toujours supérieur ou égal à k, mais je n'ai pas encore réussi à le démontrer rigoureusement.
Mes résultats sont-ils corrects et suis-je sur la bonne voie ? Merci encore pour votre aide, je sens que je vais y arriver (enfin j'espère...).
Tu es sur la bonne voie.
Persévère, tu obtiendras des conditions nécessaires et suffisantes en termes de .
L'idée m'est venue hier soir:
Soient X1,..., Xn des ensembles qui ne sont pas tous disjoints.
On pose U = et I =.
Montrer que pour tout k appartenant à {0, n}:
1. Si k est inférieur ou égal à (n+1)/2, I est inclus dans U.
2. Si k est supérieur ou égal à (n+1)/2, U est inclus dans I.
Soit l(x) le nombre de i tels que x appartient à Xi.
Supposons que x appartient à U. Donc x appartient à au moins l'un des , donc x appartient à au moins k ensembles Xi.
l(x) est donc supérieur ou égal à k.
Supposons que x appartient à I. Donc x appartient à l'intersection de tous les . Comme chaque union de Xi contient k ensembles, il faut donc que x appartiennent à au moins n-k+1 ensembles. l(x) est donc supérieur ou égal à n-k+1.
Soit maintenant k inférieur ou égal à (n+1)/2.
Donc n-k+1 est supérieur ou égal à (n+1)/2.
Si k est inférieur ou égal à l(x), qui est lui-même inférieur à (n+1)/2, alors x appartient à U mais pas à I
Si l(x) est supérieur ou égal à (n+1)/2, alors x appartient à U et à I.
Donc quand x appartient à I, il appartient aussi à U, mais il peut aussi appartenir seulement à U. On en déduit que pour k inférieur ou égal à (n+1)/2, I est inclus dans U.
Pour k supérieur ou égal à (n+1)/2, n-k+1 est donc inférieur ou égal à (n+1)/2.
Si n-k+1 est inférieur ou égal à l(x), qui est lui-même inférieur à (n+1)/2, alors x appartient à I mais pas à U.
Si l(x) est supérieur iu égal à (n+1)/2, x appartient à U et aussi à I.
Donc quand x appartient à U, il appartient aussi à I, mais il peut aussi seulement appartenir à I. On en déduit que pour k supérieur ou égal à (n+1)/2, U est inclus dans I.
Validé ?
Non, pas vraiment
Cette fois-ci c'est la bonne (par pitié...).
Je vais faire attention à bien marquer les étapes de mon raisonnement.
Supposons ,
donc x appartient à au moins un ,
donc x appartient à au moins k ensembles parmi X1,..., Xn.
Donc .
Supposons ,
donc x appartient à tous les ,
donc il ne peut pas y a voir de , contenant k ensembles, qui ne contienne pas un Xi contenant x,
donc .
Soit , montrons que .
D'une part, si , alors .
Or ,
donc ,
donc .
D'autre part, si , alors .
Or donc il se peut que .
Or on a vu que .
Donc si mais x n'appartient pas à I.
On en déduit que pour mais la réciproque est fausse.
Donc .
Soit , montrons que .
D'une part, si , alors .
Or ,
donc ,
donc .
D'autre part, si , alors .
Or donc il se peut que .
Or on a vu que .
Donc si mais x n'appartient pas à U.
On en déduit que pour mais la réciproque est fausse.
Donc .
GBZM, je m'en remets à votre jugement. Encore une fois, merci infiniment pour votre aide.
Bonsoir,
Pas mal mais, désolé, il y a toujours le même problème :
Tu montres , fort bien, mais après tu utilises que tu n'as pas démontré.
Ah oui zut, je vous demande pardon. Je n'avais pas pense à le faire car il me semble que c'est assez trivial :
Supposons que .
Donc il existe contenant x. Donc .
Le raisonnement est analogue pour l'appartenance à I. J'ai un peu l'impression d'énoncer une tautologie par cette démonstration, cela me semble trop simple, mais pourtant j'ai l'impression que cela suffit. Est-ce correct ? Si oui, en incorporant cette démonstration à la résolution de l'exercice, suis-je arrivé à le résoudre correctement ?
Encore une fois, je vous remercie infiniment pour votre aide patiente, j'ai conscience que cela commence à faire long pour un simple exercice.
Pour conclure :
si et seulement s'il existe de cardinal tel que pour tout ,
si et seulement si .
si et seulement si pour tout de cardinal , il existe tel que i,
si et seulement si .
Si , alors entraîne , donc .
Si , alors entraîne , donc .
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