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Niveau Maths sup
Indicatrice D'euler
Posté par Poun (invité)
Bonjour !
Soit s(n)= la somme des diviseurs de n
*
Montrer que si n et m sont premiers entre eux, alors on a s(mn)=s(m)*s(n)
bon j'ai fait mes petites recherches et apparemment y'a le théorème chinois qui se cache là-dessous mais je ne l'ai pas vu..y'a t-il un moyen plus simple de démonstration ?
Merci 
Bonjour Poun
Le moyen le plus simple que et connais est de construire un isomorphisme entre et
(donc théorème chinois)
Kaiser
Posté par Poun (invité)re : Indicatrice D'euler
Merci Kaiser, juste une question, comment faut-il s'y prendre pour calculer la somme des diviseurs de pk avec p premier ?
Posté par Poun (invité)re : Indicatrice D'euler
p étant premier, il n'est divisible que par lui-même et par 1 mais élevé à la puissance k ?
Salut !
c'est effectivement une application quasi-imédiate du théorème chinois, mais si tu es en Sup seulement tu ne l'a peut-etre pas vu en cours... on peut ce débrouiller sans.
sans le th chinois, on prend m et n premier entre eux, et on montre que l'application :
f: D(n) x D(m) -> D(mn) qui a (d,d') associe dd' est bijective. (D(n) désigne l'ensemble des diviseur de n...)
il faut faire un peu d'arithmétique de base, je te laisse regarder cela (on pourra remarquer que d= pgcd n et f(d,d') par exemple... )
ansi s(n)*s(m) = (somme pour d|n de d)*(somme pour d'|m de d') =somme pour d|n et d'|m de dd'
et la la fonction étudié plus haut etan bijective, c'est un changement de variable acceptable et donc :
somme pour d|n et d'|m de dd' = somme pour (d,d') dans D(n) x D(m) de dd' = somme pour d|mn de d = s(mn)
pour s(p^k) et bien les diviseur de p^k sont 1,p,p^2...,p^k la somme des diviseurs est une somme géométrique que tu saura facilement calculer?
Posté par Poun (invité)re : Indicatrice D'euler
"somme pour d|n de d" je comprends pas trop ce que çà veut dire 
Sinon grand merci Ksilver
Salut !
on somme pour d parcourant l'ensemble des diviseur de n, tu peut noter ca 'somme pour d dans D(n) de d" si tu préfaire...
c'est juste une facon de noter "la somme des diviseurs de n".
Posté par Poun (invité)re : Indicatrice D'euler
oki 
Je bloque un p'tit peu plus loin dans mon exercice sur 1 question! :
n parfait : s(n)=2n.
On pose n=2ab
_ Montrer que (2a+1-1)s(b)=2a+1b
bon çà c'est fait.
_ Montrer que s(b)-b|s(b) puis b
c'est fait également
_ Montrer que b est premier
>> et c'est précisémment là que je bloque :
il faut que je montre s(b)=b+1, et je ne suis pas sûr que le résultat précédent m'aide ..
Merci!
Salut !
j'ai un vague souvenir de ca...
suppose que b est non premier, alors b à deux diviseur stricte p et q, donc s(b)>1+b+q+p et utiliser dans l'ègalité ca devrait t'amener à une contradiction je pense...