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inégalité

Posté par
merevic10 09-01-24 à 12:02

bjr à tous!
On donne I_0=\int^e_1 xdx et I_n=\int^e_1 x(\ln x)^ndx.
La suite (I_n) est décroissante et on a la relation 2I_n+nI_{n-1}=e^2.
J'aimerais démontrer la relation \dfrac{e^2}{n+3}\leq I_n\leq \dfrac{e^2}{n+2}.
J'ai calculé et obtenu I_0=\dfrac{e^2-1}{2}, I_1=\dfrac{1-e^2}{4}.
mais je n'arrive pas à faire le lien.

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 12:23

Bonjour,

Tu devrais te servir de la relation de récurrence. En utilisant la décroissance de I_n, tu peux l'encadrer.

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 12:32

en utilisant la décroissance je comprend que I_n<I_0. dans ce cas I_n serait supérieur à quoi?

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 12:34

Non, Il faut encadrer l'expression  2I_n+nI_{n-1}

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 12:46

Un petit coup de pouce . Si dans 2I_n+nI_{n-1} tu remplaces I_{n-1} par I_n, tu obtiens quelque chose de plus grand ou de plus petit ?

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 15:15

dans c'est plus petit

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 15:26

Oui, alors écrit cette inégalité.

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 15:45

je parviens à faire ceci:
I_n\leq I_{n-1} nI_n\leq nI_{n-1}
Ainsi, 2I_n+nI_n \leq 2I_n+nI_{n-1}
D'où (n+2)I_n \leq e^2 et par conséquent I_n \leq \dfrac{e^2}{n+2}
Je coïnce encore pour l'autre côté

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 15:48

j'ai voulu faire la même chose en comparant I_{n+1} \leq I_n mais je ne vois pas comment obtenir (n+3)

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 15:50

On est tenté de faire la même chose, cette fois en remplaçant  I_{n} par I_{n-1}, non ?

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 15:50

Tu obtiens quelle inégalité si tu fais ça ?

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 15:54

je ne comprend vraiment pas

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 16:01

en remplaçant  I_{n} par I_{n-1}, on obtient

2I_n+nI_{n-1} \leq 2I_{n-1}+nI_{n-1}

d'où   I_{n-1}\geq ???

Posté par
merevic10re : inégalité 09-01-24 à 16:07

ah d'accord.
I_{n-1}\geq \dfrac{e^2}{n+2}. Donc I_n\geq \dfrac{e^2}{n+3}.
Merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
larrechre : inégalité 09-01-24 à 16:12


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