Bonjour Celine77

Je mets <= pour "inférieur ou égal"

0 <= 1
en ajoutant 4n² + 4n à chaque membre
4n² + 4n <= 4n² + 4n +1
4n(n+1) <= (2n+1)²
(2n+1)^2" alt="(2\sqrt{n(n+1)})^2(2n+1)^2" class="tex" />

Le carré de est inférieur ou égal au carré de 2n+1
et comme les nombres et 2n+1 sont positifs, ils sont dans le même ordre que leurs carrés.
d'où le résultat

Bien ntendu, j'ai cherché à l'envers

Comme les nombres

La ligne illisible est

0 < 1
0 + 4n² + 4n < 1 + 4n² + 4n

4n(n+1) < (2n+1)²

et comme les 2 cotés sont >= 0 et que (2n+1) > 0, on fait la racine carrée sans modifier le sens de l'inégalité

2.racine(n(n+1)) < 2n+1

2.racine(n(n+1)) - 2n - 1 < 0
-----
Sauf distraction.  

Désolé pour le double emploi.

Attention le = du <= dans la réponse de siOK n'a pas de raison d'exister.

Merci à JP et encore une fois à siOk
siOk, merci aussi pour m'avoir dit comment tu avais fait.
Vous êtes supers!! Je me sents soudain beaucoup moins seule et mon moral remonte!!
Merci encore

Puisque tu prépare le capes interne, une autre idée (ou plus exactement un lien)

la moyenne arimétique de deux nombres a et b est:  
(a + b) / 2

la moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est:  

Propriétés:
On a toujours pour a et b positifs,  moyenne géométrique < moyenne arithmétique

Tu appliques les deux moyennes aux nombres n et n+1.


racine(n(n+1)) < 2n + 1

Je suis d'accord avec la précision de J. P.

Merci à lui