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Niveau Maths sup
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inégalité avec des entiers

Posté par Céline77 (invité) 23-09-04 à 18:02

Bonjour à tous. Je prépare le capes interne de math toute seule et j'espère l'être un peu moins gràce à vous... Voici mon problème:
Je n'arrive pas à prouver que :
pour tout n > 0 : 2racine(n(n+1)) - 2n - 1 < 0

Voila!! Merci d'avance à ceux ou/et celles qui prendront le temps de m'aider!!

Posté par
siOk
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:30

Bonjour Celine77

Je mets <= pour "inférieur ou égal"

0 <= 1
en ajoutant 4n² + 4n à chaque membre
4n² + 4n <= 4n² + 4n +1
4n(n+1) <= (2n+1)²
(2n+1)^2" alt="(2\sqrt{n(n+1)})^2(2n+1)^2" class="tex" />

Le carré de 2\sqrt{n(n+1)} est inférieur ou égal au carré de 2n+1
et comme les nombres 2\sqrt{n(n+1)} et 2n+1 sont positifs, ils sont dans le même ordre que leurs carrés.
d'où le résultat

Bien ntendu, j'ai cherché à l'envers

Comme les nombres

Posté par
siOk
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:31

La ligne illisible est

(2\sqrt{n(n+1)})^2 (2n+1)^2

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:33

0 < 1
0 + 4n² + 4n < 1 + 4n² + 4n

4n(n+1) < (2n+1)²

et comme les 2 cotés sont >= 0 et que (2n+1) > 0, on fait la racine carrée sans modifier le sens de l'inégalité

2.racine(n(n+1)) < 2n+1

2.racine(n(n+1)) - 2n - 1 < 0
-----
Sauf distraction.  



Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:34

Désolé pour le double emploi.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:36

Attention le = du <= dans la réponse de siOK n'a pas de raison d'exister.


Posté par Céline77 (invité)re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:38

Merci à JP et encore une fois à siOk
siOk, merci aussi pour m'avoir dit comment tu avais fait.
Vous êtes supers!! Je me sents soudain beaucoup moins seule et mon moral remonte!!
Merci encore

Posté par
siOk
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:43

Puisque tu prépare le capes interne, une autre idée (ou plus exactement un lien)

la moyenne arimétique de deux nombres a et b est:  
(a + b) / 2

la moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est:  \sqrt{ab}

Propriétés:
On a toujours pour a et b positifs,  moyenne géométrique < moyenne arithmétique

Tu appliques les deux moyennes aux nombres n et n+1.


racine(n(n+1)) < 2n + 1

Posté par
siOk
re : inégalité avec des entiers 23-09-04 à 18:44

Je suis d'accord avec la précision de J. P.

Merci à lui



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