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Inégalités
Bonjour, j'ai un devoir de Maths à rendre ...
J'ai quelques difficultés pour certaines questions, pouvez vous m'éclairer et me dire si mes réponses sont correctes ?
Soit un polyèdre régulier ;
A le nombre de faces ; M le nombre de sommets ; R le nombre d'arêtes ; b le nombre de côtés pour une face et enfin c le nombre d'arêtes pour un sommet identique.
La formule proposée est la suivante : M + A = R + 2
Je dois justifier que → A * b = M * c
J'ai voulu m'aider avec un cube pour justifier :
Nombre de faces : 6
Nombre de côtes pour une même face : 4
Nombre de sommets : 8
Et, nombre d'arêtes pour un même sommet : 3
J'ai donc obtenu l'égalité suivant :
6*4 = 8*3
24 = 24
La question suivante étant de justifier avec la formule proposée au départ (M + A = R + 2) que : 1/c + 1/b = 1/2 + 1/R
Je me suis à nouveau aidée avec un cube :
1/3 + 1/4 = 1/2 + 1/12
Soit : 7/12 = 7/12
Suis-je sur la bonne voie ?
Merci de m'aider !
On ne te demande pas de vérifier les formules sur des cas particuliers mais de démontrer ces formules pour tous les polyèdres réguliers.
Donc non, tu n'es pas du tout sur la bonne voie.
Exemple, on part de la formule de Descartes-Euler M + A = R + 2 (M le nombre de sommets ; R le nombre d'arêtes ; A le nombre de faces je suppose ?)
on introduit b le nombre de côtés pour une face et c le nombre d'arêtes pour un sommet identique.
on cherche une formule avec juste A;b;M;c donc dans laquelle il n'y a plus de R
Il faut réfléchir un peu, c'est le but de l'exercice :
si b est le nombre de cotés autour d'une face, chaque face génère b arrêtes mais ces arrêtes sont partagées par deux faces donc s'il y a A faces, il y aura A*b/2 arrêtes en tout. S'il y a c arrêtes qui arrivent sur un sommet, et qu'il y a M sommets il y a M*c/2 arrêtes.
et donc A*b/2 = M*c/2 
A*b = M*c
Essaye de démontrer l'autre.
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