Bonjour,
Pour a+b, commence par ajouter membre à membre les deux données :
b+3 < a+b < b+5 .
Puis déduis de 3 < b < 5 ... < b+3 et b+5 < ...

Pour a-2b, commence par multiplier b < a < b+1 par -2
N'oublie pas de changer le sens des inégalités.
Puis écris ce que tu as obtenu "à l'envers" : ... < -2a < ...
Je te laisse chercher la suite.

Bonjour,

Je ne comprends pas à partir de déduire.

Merci.

bonjour,

(1) b<a<b+1
(2) 3<b<5
--------------
(1)+(2) b+3<a+b<b+6

2:

on repart de ce que l'on te donne

(1) b<a<b+1

(2) 3<b<5

multiplions dans (2) par -2b

3 * -2 < -2b < 5 * -2

mais là, attention, on a multiplié par -2 , donc il faut changer le sens de l'inégalité

Ensuite, tu vas obtenir

oui, je n'avais pas terminé

(1) b<a<b+1

(2) modifié......................

----------------------------------------

....... < a-2b <..............................

b < a < b+1 et 3 < b < 5

b < a < b+1
b+b < a+b < b+1+b
2b < a+b < 2b + 1 et avec 3 < b < 5 --->
6 < a+b < 11
-----

b < a < b+1
b-2b < a-2b < b+1-2b
-b < a-2b < -b+1 et avec 3 < b < 5 --->
-5 < a-2b < -2
-----

Sauf distraction.  

Variante pour  a - 2b :
b < a < b + 1   (1)
3 < b < 5        (2)
- 3 > - b > - 5
- 5 < - b < - 3   (3)
(1) + (3) :
b - 5 < a - b < b - 2
- 5 < a - 2b < - 2 .

Bonjour,
Je corrige mon erreur d'hier et remplis les pointillés :
Pour a+b, commence par ajouter membre à membre les deux données :
b+3 < a+b < b+6 .
Puis on déduit de 3 < b < 5 les deux inégalités 3+3 < b+3 et b+6 < 5+6
D'où 6 < b+3 < a+b < b+6 < 11 qui donne 6 < a+b < 11

tu as b<a<b+1 et 3<b<5 donc 3<a<6 donc 6<a+b<11 puis -10<-2b<-6, d'où -7<a-2b<-0 c'est élémentaire!

Bonsoir,

Merci pour vos explications.

Francchoix,

Ce n'est peut être pas si élémentaire.

Peux-tu me donner les valeurs de a et de b obéissant à : b < a < b+1 et 3 < b < 5 et telles que :

1° a-2b = -6 (par exemple)
2° a - 2b = -1 (par exemple)

Le raisonnement que tu as mené n'est pas correct.

On a, comme je l'ai indiqué : - 5 < a - 2b < - 2

Bonjour,
L'encadrement - 5 < a - 2b < - 2 est plus fin que -7 < a-2b < 0 ; mais ce dernier n'est pas faux et le raisonnement de Francchoix de 20h34 hier est correct.

Non Sylvieg,

Si je te suis, alors, on prend un encadrement ]-oo ; +oo[ et on a rien à redire.
Ce n'est, sans aucun doute, pas l'esprit dans lequel l'exercice a été posé.

Si on demande un encadrement, c'est évidemment l'encadrement le plus "étroit possible" et aucun autre.

Et dans cette optique (qui est la seule raisonnable) et quoique tu en penses, le raisonnement de Francchoix n'est pas correct, j'ose espérer que tu vois pourquoi.

L'encadrement donné par Francchoix inclus des intervalles de valeurs qui ne respectent pas les contraintes imposées par l'exercice.

Il y a d'ailleurs le même genre d'erreur suggérée dans ton 1er message pour l'encadrement de a+b
Si c'est la méthode enseignée actuellement ...

Bonjour J-P,

j'ai effectivement été très vite et j'ai encadré 2b, ce qui fait que ton encadrement est meilleur que le mien,même si le mien ne peut pas être faux, puisque plus large. Mais c'est bien sûr ta méthode qu'il faut faire. par contre, tes contres exemples ne prouvent rien.

Lorsque l'on demande un encadrement, suivant la méthode suivie (par exemple si on n'a pas les variations d'une fonction),le résultat obtenu est bon, mais le plus fin est inaccessible. Donc, on ne demande pas toujours le meilleur encadrement. Evidemment ici, c'est le tien qu'il fallait trouver.

Salut Francchoix,

Mes contre-exemples étaient là uniquement pour faire remarquer qu'en se situant dans l'intervalle que tu donnes, il est possible de trouver des valeurs de (a-2b) qui ne satisfont pas les contraintes de l'énoncé.

J'espère que ce qui est vraiment demandé est l'intervalle le "plus petit possible" ... sinon, comme je l'ai écrit, on n'aurait rien à reprocher à la réponse ]-oo ; +oo[ qu'on peut donner sans le moindre raisonnement ... et il n'y aurait pas d'exercice.

Bonjour

la question était bien "donner UN encadrement", et pas "donner le meilleur encadrement possible"

alors certes, le concepteur de l'énoncé s'expose à une réponse comme ....
mais du coup les démarches de Francchoix, Sylvieg et J-P sont toutes acceptables ...

Sielvieg,

J'ai précisé ma pensée.

Il est EVIDENT que ce qui est attendu est l'intervalle le plus "restreint possible", sinon il n'y a pas d'exercice et la réponse ]-oo ; +oo[ ferait l'affaire, comme je l'ai écrit.

A partir de là, si la solution trouvée (par exemple -7 < a-2b < 0) est trop "large", c'est que le raisonnement qui a été conduit pour y arriver est faux.

Donc de 2 choses l'une :

- On veut l'intervalle le plus restreint (ce qui est sans aucun doute le but de l'auteur de l'exercice) ... et la réponse -7 < a-2b < 0 ne convient pas, ce qui montre que le raisonnement pour y arriver était faux.
- On accepte un intervalle plus grand est alors la réponse ]-oo ; +oo[ est la plus rapide et est correcte, aucune raison de se casser pour trouver un intervalle plus "petit" mais qui est quand même "trop grand"... en ne respectant les contraintes que partiellement.
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Je reste cependant d'accord avec "l'énoncé ne le précise pas"

Même si "cela va sans dire", "cela va encore mieux en le disant" disait un de mes anciens profs (il disait cela pour nos réponses et non pour les "imperfections" de ses énoncés"

C'est malheureusement le cas de la plupart des exercices, si on veut pinailler, il est quasi toujours possible de trouver une interprétation différente de celle qu'avait l'auteur.

@J-P
Je ne suis pas d'accord avec le "ce qui montre" dans

Quel raisonnement fallait-il faire ? (personnellement je préfère parler de démonstration)
Par ailleurs, mon premier message d'il y a deux jours comportait plusieurs erreurs (b+5 au lieu de b+6 et encadrer -2a au lieu de -2b)

L'énoncé "bizarre" et qui n'a guère d'intérêt qui aurait été :

Nous n'avons pas la même conception de ce qu'est un raisonnement faux
Cela dit, si la question implicite est "donner le meilleur encadrement possible", il faut peut-être envisager de démontrer que c'est bien le meilleur.

Il ne sert plus à rien de poursuivre.

Comme je l'ai écrit, si l'auteur de l'énoncé ne pensait pas "donner le meilleur encadrement possible", même non dit explicitement, alors il n'y avait pas de problème.

La réponse ]-oo ; +oo[ convenait parfaitement.

On peut continuer longtemps à essayer de rejeter un raisonnement pas vraiment approprié sur de dos l'auteur du problème au lieu de reconnaître qu'on s'est trompé. (Cela arrive à tous).

Je serais curieux de voir la cote que donnerait le prof qui a donné ce problème avec une réponse telle que -7 < a-2b < 0 et aussi quelles seraient ses réactions devant les contestations d'un élève qui avancerait les "objections" données ici par certains.

A partir de l'énoncé, on peut parfaitement en déduire 3<a<6 et 3<b<5 et donc en déduire un encadrement de a+b et de a-2b qui seront forcément justes, mais on néglige totalement b<a<b+1 qui fournit des informations supplémentaires permettant d'affiner le résultat. Je pense que c'est ce que l'on attend, mais si la question est: "donner un encadrement", on peut choisir la méthode rapide qui ne contient aucune erreur de raisonnement mais qui ne tient compte de b<a<b+1 que pour écrire 3<a<6. Conclusion: -5<a-2b<-2 est plus satisfaisant que -7<a-2b<0.
Sinon, en seconde, si on demande d'encadrer avec 0<x<3, sans faire une seule erreur, l'élève va aboutir à , alors que la fonction étant croissante, on a  ; l'élève n'a pas trouvé le meilleur encadrement, mais il a tout bon.Tout ça pour dire que l'idéal n'est pas toujours possible!

Tiens, du temps (très lointoin) où j'étais en Seconde, on aurait du faire ainsi (ou autrement, mais avec le même résultat) :


(3x+2)/(2x+4) = (3/2). (x + 2/3)/(x+2) = (3/2). (x + 2 - 4/3)/(x+2) = (3/2) - 2/(x+2)

0 < x < 3
2 < x+2 < 5
1/5 < 1/(x+2) < 1/2
- 1/5 > - 1/(x+2) > - 1/2
- 2/5 > - 2/(x+2) > - 1
3/2 - 2/5 > 3/2 - 2/(x+2) > 3/2 - 1
11/10 > (3x+2)/(2x+4) > 1/2

1/2 < (3x+2)/(2x+4) < 11/10

Mais, les temps changent.

il y a encore une petite dizaine d'année, il y aurait eu quatre questions intermédiaires pour leur faire établir cette décomposition puis l'encadrement subséquent ...
je ne suis pas persuadée que la majorité des élèves d'une terminale dite scientifique de maintenant soit seulement capable de le comprendre en le lisant tout rédigé .... et parmi ceux qui le comprennent, combien se demandent "mais comment il a eu l'idée de faire ça ?" ... mais chut ! le niveau ne baisse pas !

de ce qu'on n'exige plus, tu veux dire ?
en tous cas en France....
m'enfin, on ne va pas refaire le monde, hein ?

Je n'arrive toujours pas à comprendre comment, dans ce type d'exercices, on peut se contenter d'un encadrement qui n'est pas le meilleur. (sauf cas très particuliers).

Cela ne mène à rien, pourquoi admettre -7 < a-2b < 0 ? et donc pourquoi pas -oo < a-2b < +oo ?

Pour moi aussi, cela remonte à plus de 45 ans ... Mais jamais, un encadrement, qui n'aurait pas été le meilleur, n'aurait été accepté comme réponse valable par mes profs de l'époque.

Tout passe, tout casse, tout lasse.

Mais tout va pour le mieux.

Je radote :
Je n'ai rien lu dans les messages qui justifie qu'on ne peut pas obtenir un encadrement plus fin que - 5 < a - 2b < - 2 .

Dis moi Sylvieg, tu n'est plus une gamine (moi-non plus d'ailleurs). Ce qui me choque chez J-P, c'est qu'il parle d'erreur de raisonnement alors que c'est lui qui en fait. l'encadrement -7<a-2b<0 est parfaitement valable; le fait de donner des exemples ou il est vérifié, mais qui sont plus conformes à ce qu'il a trouvé ne prouve en aucune façon qu'il y a eu erreur de raisonnement, puisque que le raisonnement est imparable. C'est tout à fait désagréable de se faire traiter d'imbécile sans aucune raison valable, voire avec des arguments foireux. J'ajouterais que se soit Sylvieg ou moi, nous sommes tous les deux capables d'une étourderie ou de traiter un problème trop rapidement, mais de là à faire une erreur de raisonnement, il y a des limites. Il est clair que si nous avions passé un peu plus de temps sur l'exercice, nous aurions quand même trouver ton résultat (ce n'est pas du niveau spé M^*). Tout ça pour dire qu'il devrait y avoir plus de respect réciproque entre les intervenants, qui outre leur expérience, travaillent bénévolement et que le but du jeu, c'est quand même d'aider le demandeur, et non pas de casser son collègue.

@lafol: Je ne crois pas que le niveau des lycéens soit si médiocre, malgré mon agrément  d'un niveau scientifique exigible ridiculement bas. Il n'y a aucune idée à former pour arriver à cet encadrement, it's child play.

Salut J.P

N'en parlons plus; il n'y a pas de confit.Tu as raison, mais on a pas tort . Passe une bonne soirée.

Gaby : je parlais de l'idée de passer de (3x+2)/(2x+4) à (3/2) - 2/(x+2) pour obtenir sans recourir à l'étude des variations un encadrement le meilleur possible de cette fraction si x est entre 0 et 3, sans aucune indication.
combien de lycéens d'aujourd'hui y penseraient ? un ou deux par classe, à part dans les grands lycées parisiens ?

Tu as tout à fait raison.

Oui, c'est une différence essentielle entre aujourd'hui est "hier".

Jadis, ceux qui optaient pour une section "maths fortes" (comme celles que j'ai indiquées dans un précédent message), devaient pouvoir avoir l'idée de passer de (3x+2)/(2x+4) à (3/2) - 2/(x+2)
... et pour ceux qui ne pouvaient pas, il était bien avisé de choisir d'autres sections... sous peine de carte rouge.

On appellerait maintenant cela de l'élitisme.

Pour moi, il n'y a rien de déshonorant de choisir des options non "maths fortes", choisir des options qui correspondent aux capacités de l'élève permet au plus grand nombre d'évoluer au mieux de ses capacités.

Maintenant, on veut gommer toutes ces "différences" ... et on avance donc à la cadence des moins bons dans chaque matière. Même les sections S (si c'est ainsi qu'on les appelle) ont des programmes insipides.

Mais tout va pour le mieux, presque tous obtiennent un bac général.

... et une bonne part restera planté là, incapable de poursuivre des études supérieures et sans bagage professionnel, qu'ils auraient pu obtenir en suivant des filières techniques s'ils avaient été convenablement conseillés.


Erreur de stratégie :

Beaucoup pensent que le bac est indispensable, alors que ce qui est indispensable est le "savoir faire" et la "capacité de raisonner".

Pour tenir l'objectif "tous ou presque doivent obtenir le bac", on a trouvé la bonne méthode ... les exigences s'amenuisent d'année en année. Et si par malheur le pourcentage de réussite est trop faible, on modifiera la manière de coter.

Tout va pour le mieux... pour l'obtention du bac.

Quant au "savoir faire" et la "capacité de raisonner", cela c'est une tout autre histoire. Sacrifiés à l'Autel de l'obtention d'un bout de papier à tout prix.

Serais-je défaitiste ?

@Lafol : Pendant mon année de passage d'une équivalence du bac S, nos professeurs -des universitaires, en majorité- se conformaient au programme de 80/90 pour nous préparer au mieux à la licence, donc nous encadrions des suites, intégrales, fonctions etc.

Ils étaient entièrement libre de leur programme car l'examen est propre à chaque établissement, et est bien éloigné des psalmodiations de cours demandées en TS.

L'excellence se cache parfois dans des endroits incongrus.

@J-P : L'élitisme bourgeois existe encore dans les classes prépas et certaines doubles licences. De toute façon, quel non-sens de le refuser, il y a un ou deux Feynmann par génération, pas 60000 (nombre de bacheliers 2014).

Le pessimisme me semble être de rigueur en matière d'éducation, il permet à minima d'imaginer d'autres voies possibles pour imaginer un ou plusieurs systèmes plus adaptés à la réalité de la diversité humaine.

je parlerais de réalisme, plutôt que de pessimisme
le réalisme consiste à ne pas se voiler la face et espérer qu'on trouve des solutions, le pessimisme, c'est quand on pense qu'il n'y a plus rien à tenter pour sortir du marasme, non ?

Je répondrais par une citation d'Hiroshi Sugimoto : "Le pessimiste est un optimiste déçu."