Niveau Reprise d'études

inéquation fonctionnelle

Posté par
lebesgue 31-07-21 à 13:49

Bonjour,

Voilà j'ai quelques maux de têtes avec le corrigé de cet exo :
$f : R^{+}\rightarrow{R}$ est une fonction continue. Pour tout $x$ positif, on suppose $2f(3x)\leq{f(x)+f(2x)}$ . On veut montrer que pour tout $x$ positif, $f(x)\leq f(0)$ .

Donc le corrigé commence en appliquant le théorème de la borne atteinte sur $[0,x]$ : comme f est continue, elle admet un maximum en une abscisse que nous noterons $a$ . On a donc :

$2f(3\times\dfrac{a}{3})\leq f(\dfrac{a}{3})+f(\dfrac{2a}{3})\leq{f(a)+f(a)}$ , ceci en utilisant l'inégalité fonctionnelle et le fait que $\dfrac{a}{3} et \dfrac{2a}{3} \in[0,x]$ .
Là où je lâche (surement bêtement) : le corrigé en conclue immédiatement que $f(\dfrac{a}{3}})= f(\dfrac{2a}{3}})=f(a)$ .

Mais de l'inégalité double, je n'arrive à tirer que $f(\dfrac{a}{3}})+ f(\dfrac{2a}{3}})=2f(a)$ et pas $f(\dfrac{a}{3}})= f(\dfrac{2a}{3}})=f(a)$ . Qu'est ce que je comprends de travers?

Merci par avance!

Posté par re : inéquation fonctionnelle 31-07-21 à 14:26

Bonjour,

Tu as d'une part $f(\dfrac{a}{3}) \leq f(a)$ et $f(\dfrac{2a}{3}) \leq f(a)$ parce que le maximum est atteint en $a$ .

Imaginons qu'une des inégalités est stricte par exemple que $f(\dfrac{a}{3}) < f(a)$ . Alors $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{a}{3}) < 2f(a)$ .

Mais comme tu l'as écrit, l'inéquation fonctionnelle te donne aussi $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{a}{3}) = 2f(a)$ , c'est absurde

Posté par re : inéquation fonctionnelle 31-07-21 à 21:17

Bonjour et merci pour ta réponse!

Zrun @ 31-07-2021 à 14:26

Mais comme tu l'as écrit, l'inéquation fonctionnelle te donne aussi $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{a}{3}) = 2f(a)$ , c'est absurde

Elle donne plutôt $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{2a}{3}) = 2f(a)$ , non?
Du coup, pas sûr de comprendre mieux le truc...

Posté par re : inéquation fonctionnelle 31-07-21 à 22:46

Bonjour,

en appliquant $2f(3x)\leq{f(x)+f(2x)}$ on obtient :

   $2f(3\dfrac a3)\leq{f(\dfrac a3)+f(2 \dfrac a3) }\leq {f(a)+f(a) }$

soit

   $2f( a)\leq{f(\dfrac a3)+f(2 \dfrac a3) }\leq {2f(a) }$ (1)

la seule possibilité pour que (1) soit vraie est :

$f(\dfrac a3)+f(2 \dfrac a3) }= {2f(a) }$   (2)

on sait que :

$f(\dfrac a3) \leq f(a)$ et $f(2 \dfrac a3) \leq f(a)$

pour que (2) soit vraie la seule possibilité est :

$f(\dfrac a3)=f(2 \dfrac a3) =  f(a)$

Posté par re : inéquation fonctionnelle 31-07-21 à 23:03

Merci!
je crois que j'ai compris cette fois ci!

Bonne fin de soirée!

Posté par re : inéquation fonctionnelle 01-08-21 à 01:05

lebesgue @ 31-07-2021 à 21:17

Bonjour et merci pour ta réponse!

Zrun @ 31-07-2021 à 14:26

Mais comme tu l'as écrit, l'inéquation fonctionnelle te donne aussi $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{a}{3}) = 2f(a)$ , c'est absurde

Elle donne plutôt $f(\dfrac{a}{3}) + f(\dfrac{2a}{3}) = 2f(a)$ , non?
Du coup, pas sûr de comprendre mieux le truc...

Oui effectivement j'ai oublié les 2 dans mon posts … Excuse moi …