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Inéquation par récurrence

Posté par
svphelppp
22-02-22 à 01:22

Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide, je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence

Posté par
Yzz
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 07:13

Salut,

Si on te demande une démonstration par récurrence, le mieux est d'essayer de la faire.
Et donc :
Propriété à démontrer ?
Initialisation ?
Hérédité : que suppose-t-on vrai ? que veut-on démontrer ?

...A toi !

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 07:52

Oui ça j'ai fais :
Identifixation : Propriété à démontrer : Pn : Un>=ln(n+1)

Initialisation : n0=0
U0>=ln(0+1)
U0>=ln(0+1)
     >=ln(1)
     >= 0
Donc P0 est vraie

Hérédité : on suppose qu'il existe un entier k >= n0 donc 0,tel que Pk est vraie, et on démontre alors sous cette hypothèse que Pk+1 est vraie : c'est à dire Un+1>= ln(n+1+1)
Donc Un+1>= ln(n+2)  
  Un+1/n+1 >=ln(n+2)

Et à partir de la je suis bloqué, je sais plus du tout quoi faire.

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:00

Bonjour

dépannage en passant, Yzz reprend la main dès qu'il veut / peut

Citation :
Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul ....


je ne comprends pas ton initialisation

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:10

je viens de voir que tu as posté ailleurs également ton exercice
alors, tu choisis...ou tu dis ailleurs que tu n'as plus besoin d'aide et nous t'aiderons
ou le sujet sera fermé ici

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:11

Pour l'initialisation je montre juste que l'inéquation, soit Pn est vrai pour U0 (U0>= ln(0+1) (je remplace mes n par 0)

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:13

tant que la situation n'est pas régularisée, je ne te réponds plus sur le sujet

malou @ 22-02-2022 à 08:10

je viens de voir que tu as posté ailleurs également ton exercice
alors, tu choisis...ou tu dis ailleurs que tu n'as plus besoin d'aide et nous t'aiderons
ou le sujet sera fermé ici

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:13

Ha désolé je ne savais pas que ça n'était pas autorisé, je dis ailleurs que je n'ai plus besoin d'aide. Encore désolé

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:17

OK, vu...donc tu peux continuer ici

comment peux-tu initialiser avec n=0 avec ça ?

Citation :
Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul

et ça

Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n


tu as déjà essayé de remplacer n par 0 dans la définition de un ?

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:20

Haa effectivement on ne peut pas, dans ce cas il faudrait que je fasse l'initialisation avec U1 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:21

bien sûr

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:26

Initialisation :
D'une part U1=1
D'autre part U1>=ln(1+1)
                                    >=ln(2)
                                    >= 0,69
Donc P1 est vraie

Ça semble déjà plus logique merci 😅

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:31

u1=1
ln(1+1)=ln(2)0,69
donc
1 > ln(1+1)
et P1 est vraie

OK

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:33

je te laisse chercher un peu la suite
je reviendrai voir plus tard si personne n'a pris la relève.

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 08:35

Super je vais essayer de résoudre mon problème au niveau de l'hérédité, je reviendraice soir si je n'yarrivetoujourspas. Merci beaucoup déjà pour votre aide ! 😁

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 09:08

D'accord, fais comme ça ! c'est très bien de prendre le temps de la réflexion pour essayer de poursuivre seul

Posté par
flight
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 12:22

salut

****message modéré***ce qui doit être utilisé est indiqué dans l'énoncé, ensuite, cela peut attendre, puisque'il a été dit qu'il s'y remettait en soirée...laissons le réfléchir et proposer***

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 22-02-22 à 20:48

Re bonsoir, je pense que j'ai réussi l'hérédité :
on suppose qu'il existe un entier k >= n0 donc 0,tel que Pk est vraie, et on démontre alors sous cette hypothèse que Pk+1 est vraie : c'est à dire Un+1>= ln(n+1+1)
Donc Un+1>= ln(n+2)
On démontre :
ln(n+2) - ln(n+1) <= 1/n+1
ln(n+2)<= ln(n+1) + 1/n+1
Selon l'hypothèse de récurrence on a :
ln(n+2)<=Un + 1/n+1
ln(n+2) <= Un+1

Pk est donc vraie au rang n+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation par récurrence 23-02-22 à 08:28

Bonjour,
Tu as compris la démonstration, mais il y a des choses à rectifier pour sa rédaction.
Tu mélanges les k et les n. Si tu démarres avec k, il faut rester avec k.
Et, dans l'écriture en ligne, il faut mettre des parenthèses autour de n+1 quand il est au dénominateur.
Le premier terme est de rang 1 et pas 0.

"On suppose qu'il existe un entier k 1 tel que Pk soit vraie."
Ensuite, tu peux annoncer ce que tu veux trouver ; mais c'est plutôt à réserver au brouillon.
Ou alors : "On cherche à minorer uk+1 par ln((k+1)+1)"
Ensuite, séparer ce qui est connu d'avec l'utilisation de l'hypothèse de récurrence :
" On sait que ln(k+2) - ln(k+1) 1/(k+1).
D'après l'hypothèse de récurrence, on a ln(k+1) uk.
En ajoutant memebre à membre les deux inégalités, on obtient
ln(k+2) uk + 1/(k+1).
Or uk+1 = uk + 1/(k+1) ; donc uk+1 ln(k+2).
La propriété Pn est donc vraie au rang k+1."

Il n'y a pas une unique manière de rédiger une démonstration par récurrence ; mais ça doit toujours être fait avec beaucoup de précision.

Posté par
svphelppp
re : Inéquation par récurrence 24-02-22 à 19:03

OK je pense que je suis au point, merci beaucoup à vous !! 😆

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation par récurrence 24-02-22 à 19:33



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