Salut,

Si on te demande une démonstration par récurrence, le mieux est d'essayer de la faire.
Et donc :
Propriété à démontrer ?
Initialisation ?
Hérédité : que suppose-t-on vrai ? que veut-on démontrer ?

...A toi !

Oui ça j'ai fais :
Identifixation : Propriété à démontrer : Pn : Un>=ln(n+1)

Initialisation : n0=0
U0>=ln(0+1)
U0>=ln(0+1)
     >=ln(1)
     >= 0
Donc P0 est vraie

Hérédité : on suppose qu'il existe un entier k >= n0 donc 0,tel que Pk est vraie, et on démontre alors sous cette hypothèse que Pk+1 est vraie : c'est à dire Un+1>= ln(n+1+1)
Donc Un+1>= ln(n+2)  
  Un+1/n+1 >=ln(n+2)

Et à partir de la je suis bloqué, je sais plus du tout quoi faire.

Bonjour

dépannage en passant, Yzz reprend la main dès qu'il veut / peut

je viens de voir que tu as posté ailleurs également ton exercice
alors, tu choisis...ou tu dis ailleurs que tu n'as plus besoin d'aide et nous t'aiderons
ou le sujet sera fermé ici

Pour l'initialisation je montre juste que l'inéquation, soit Pn est vrai pour U0 (U0>= ln(0+1) (je remplace mes n par 0)

tant que la situation n'est pas régularisée, je ne te réponds plus sur le sujet

Ha désolé je ne savais pas que ça n'était pas autorisé, je dis ailleurs que je n'ai plus besoin d'aide. Encore désolé

OK, vu...donc tu peux continuer ici

comment peux-tu initialiser avec n=0 avec ça ?

Haa effectivement on ne peut pas, dans ce cas il faudrait que je fasse l'initialisation avec U1 ?

bien sûr

Initialisation :
D'une part U1=1
D'autre part U1>=ln(1+1)
                                    >=ln(2)
                                    >= 0,69
Donc P1 est vraie

Ça semble déjà plus logique merci 😅

u₁=1
ln(1+1)=ln(2)0,69
donc
1 > ln(1+1)
et P₁ est vraie

OK

je te laisse chercher un peu la suite
je reviendrai voir plus tard si personne n'a pris la relève.

Super je vais essayer de résoudre mon problème au niveau de l'hérédité, je reviendraice soir si je n'yarrivetoujourspas. Merci beaucoup déjà pour votre aide ! 😁

D'accord, fais comme ça ! c'est très bien de prendre le temps de la réflexion pour essayer de poursuivre seul

salut

_{****message modéré***ce qui doit être utilisé est indiqué dans l'énoncé, ensuite, cela peut attendre, puisque'il a été dit qu'il s'y remettait en soirée...laissons le réfléchir et proposer***}

Re bonsoir, je pense que j'ai réussi l'hérédité :
on suppose qu'il existe un entier k >= n0 donc 0,tel que Pk est vraie, et on démontre alors sous cette hypothèse que Pk+1 est vraie : c'est à dire Un+1>= ln(n+1+1)
Donc Un+1>= ln(n+2)
On démontre :
ln(n+2) - ln(n+1) <= 1/n+1
ln(n+2)<= ln(n+1) + 1/n+1
Selon l'hypothèse de récurrence on a :
ln(n+2)<=Un + 1/n+1
ln(n+2) <= Un+1

Pk est donc vraie au rang n+1

Bonjour,
Tu as compris la démonstration, mais il y a des choses à rectifier pour sa rédaction.
Tu mélanges les k et les n. Si tu démarres avec k, il faut rester avec k.
Et, dans l'écriture en ligne, il faut mettre des parenthèses autour de n+1 quand il est au dénominateur.
Le premier terme est de rang 1 et pas 0.

"On suppose qu'il existe un entier k 1 tel que P_k soit vraie."
Ensuite, tu peux annoncer ce que tu veux trouver ; mais c'est plutôt à réserver au brouillon.
Ou alors : "On cherche à minorer u_k+1 par ln((k+1)+1)"
Ensuite, séparer ce qui est connu d'avec l'utilisation de l'hypothèse de récurrence :
" On sait que ln(k+2) - ln(k+1) 1/(k+1).
D'après l'hypothèse de récurrence, on a ln(k+1) u_k.
En ajoutant memebre à membre les deux inégalités, on obtient
ln(k+2) u_k + 1/(k+1).
Or u_k+1 = u_k + 1/(k+1) ; donc u_k+1 ln(k+2).
La propriété P_n est donc vraie au rang k+1."

Il n'y a pas une unique manière de rédiger une démonstration par récurrence ; mais ça doit toujours être fait avec beaucoup de précision.

OK je pense que je suis au point, merci beaucoup à vous !! 😆