Niveau seconde

inéquation trigonométrique avec intervalle

Posté par
allocine 25-05-09 à 20:58

bonsoir,

j'ai une question pour résoudre une inéquation avec un intervalle donné :

f(x)=sin(3x)
Résoudre f(x) inférieur ou égal à 1/2 dans l'intervalle [2pi;4pi]

Je ne sais pas s'il faut faire:
sin(3x) inférieur ou égal à 1/2
=3x inférieur ou égal à pi/6
= x inférieur ou égal à pi/18

OU

sin(3x) inférieur ou égal 1/2
=sin(3x)=sin(pi/6)
=3x inférieur ou égal à pi/6 + 2kpi avec k ....
ou 3x inférieur ou égal à pi - pi/6 + 2kpi
.....

Pouvez m'aider!

Je sais que je n'ai pas résolus l'inéquation dans l'intervalle donné!

Posté par re : inéquation trigonométrique avec intervalle 26-05-09 à 07:48

Bonjour,

As-tu dessiné le cercle trigonométrique ? C'est souvent comme ça qu'on a l'inspiration.

Mais déjà, si on restreint l'intervalle d'étude, il n'y a pas lieu de chercher des 2kpi.

Posté par re : inéquation trigonométrique avec intervalle 26-05-09 à 07:55

Citation :
sin(3x) inférieur ou égal à 1/2
=3x inférieur ou égal à pi/6
= x inférieur ou égal à pi/18

Non ! Sûrement pas !

$\sin(3x) \le \frac{1}{2}$

est bien équivalent à :

$\sin(3x) \le \sin(\frac{\pi}{6})$

Mais pour pouvoir déduire de $f(x) \le f(x_0)$ que $x \le x_0$ , il faut que la fonction f soit croissante ! Et ce n'est pas le cas de la fonction sinus !

Donc dire que $\sin(3x) \le \sin(\frac{\pi}{6})$ est équivalent à $3x \le \frac{\pi}{6}$ est tout simplement faux !

Dans l'intervalle $[0,2\pi]$ , on sait que $\sin(a)$ est inférieur ou égal à $\frac{1}{2}$ tant que $a \in [0,\frac{\pi}{6}] \cup [\frac{5\pi}{6},2\pi]$ , ou, pour faire plus simple, dans l'intervalle $[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ $\sin(a)$ est inférieur ou égal à $\frac{1}{2}$ tant que $x \in [-\frac{7\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$

Donc, $\sin(a) \le \frac{1}{2}$ si :

$-\frac{7\pi}{6}+k\times(2\pi) \le a \le \frac{\pi}{6}+k\times(2\pi)$ pour une valeur entière de k.

Et $\sin(3x) \le \frac{1}{2}$ si :

$-\frac{7\pi}{6}+k\times(2\pi) \le 3x \le \frac{\pi}{6}+k\times(2\pi)$ pour une valeur entière de k.

Soit,

$-\frac{7\pi}{18}+k\times(\frac{2\pi}{3}) \le x \le \frac{\pi}{18}+k\times(\frac{2\pi}{3})$ pour une valeur entière de k.

A toi de terminer en disant à quels intervalles cela correspond pour l'intervalle $[2\pi,4\pi]$ sur lequel on t'interroge !

Posté par re : inéquation trigonométrique avec intervalle 26-05-09 à 18:18

bonjour,

ok merci beaucoup!!!

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