Bonjour,

Déjà par périodicité, on peut réduire un peu le problème en se plaçant sur [0,2Pi].
Ensuite, pour quelles valeurs de x cette inégalité peut avoir un sens ?

bonjour
cela a du sens pour une valeur de x positive
mais je sais vraiment pas comment m'y prendre

Placons nous sur [0,2Pi] dans un premier temps à cause de la périodicité.

Donc non pas pour les valeurs de x positives, mais pour celles qui vérifient :

on sait que cos^2(x)=((1+cos2x)/2)
don on a 3-4((1+cos2x)/2)>0

Oui, ce qui mène à quoi pour x ( toujours dans notre intervalle [0,2Pi] ) ?

cela nous amène à cos(x) > -1/2
d'où x=(2pi)/3
est-ce cela?

Non,
d'ou
.

Fais un petit dessin pour bien voir les solutions de ceci.

ah daccord g compris et ensuite que faut -il faire?

Et bien tu résouds completement cette inéquation : ou x est dans [0,2Pi].

Ceci te donne l'ensemble sur lequel ta première inéquation est définie. Il ne reste plus qu'à travailler sur l'inéquation ( par exemple on pourrait avoir envi de mettre au carré avec précaution )

vous pouvez me montrer comment je dois faire  j'ai vraiment beaucoup de mal

Un petit récapitulatif si tu veux :
On a l'inéquation .

(a) Premiere question qu'on se pose : avant de chercher quoi que ce soit, sur quel intervalle travaille-t-on ?
-> On réduit le domaine d'étude à un intervalle de longeur 2Pi à cause de la pérdiocité. Par exemple [-Pi,Pi] ( cet intervalle sera plus commode que [0,2Pi] par la suite ).
-> L'inéquation (E) possede un sens concrete si et seulement le membre sous la racine est positif si et seulement .
D'apres nos petits calculs précedents, cela revient précisement à résoudre ou x appartient à [-Pi,Pi]. Notons alors D cet ensemble des solutions. D est notre intervalle sur lequel on va travailler.
(Là tu dois le determiner completement.)

(b) Deuxièmement : On s'intéresse à l'inéquation (E) concrètement (sachant qu'on travaille toujours sur D ! ).
Une premiers chose peut nous venir en tête : Si 1+3sin(x) est positif, on peut tout mettre au carré en conservant l'ordre de l'inégalité. Essaie et regarde s'il y a des solutions possibles.
On regarde l'autre cas : si 1+3sin(x) est négatif, quelles peuvent etre les solutions ?

Tu vois un peu mieux comment va se dérouler l'exercice maintenant ?

on a 1+3sin(x)>0
sin(x)>1/3

et si on met au carré on aura sin^2(x) >1/9

De plus je sais que sin^2(x)= (1-cos2(x))/2et ensuite

on obtient cos(2x)>(2/9)-1

et ensuite ?

Non en fait il vaut partir comme ceci :
Si 1+3sin(x)>0, alors

Cette derniere équation peut etre résolue. Développe le carré et utilise l'identité cos(x)^2+sin(x)^2+1.

j'ai développé le carré je trouve
1+6sin(x)+9sin^2(x)
mais comment je me sers de l'identité ?

Ca ressemble vaguement à un polynôme ce truc si on pose X=sin(x) non ?

oui effectivement et je trouve que  delta=0
donc une racine X = -6/9
d'où sin(x) = -6/9

Oui mais ca ne t'a pas vraiment servi de voir ca.
Je reprends on en était :


Et la on remarque que pour X=sin(x) on a un polynome qui apparait et qui lui est bien plus interessant !

merci de ton aide
et je résous ce ki donne
un delta négatif donc il n'y que des solutions complexe ?

Exactement !
Tu en conclus quoi ? ( Relis bien nos hypotheses et ce qu'on a fait)

nos 2 racines complexes sont (-9+2i)/10 et (-9-2i)/10
je vois pas vraiment la conclusion que je peux faire

j'en conclus que l'on a trouvé des solutions qui sont complexes

On a montré que si x est solution de (E) et que si 1+3sin(x)>0 alors X=sin(x) était un complexe.
Ca te trouble pas ?

si sa ma paru bizarre qu'on soit tombé sur des complexes

On est d'accord qu'on travaille sur les réels ici. La variable x est réelle ?
La fonction sinus est une fonction à valeurs réelles non ? Il y a une contradiction dans nos hypotheses non ?

Je reprends mon dernier message qui est un peu sec.
Dans ton problème, on travaille essentiellement sur le corps des réels.
Nous on vient de montrer que si x était solutions de (E) et si 1+3sin(x) était positif alors sin(x) était complexe. C'est absurde puisque le sinus d'un réel est toujours un nombre réel, ok ?

Ceci nous amene alors la contradiction avec l'hypothese : x est solution et 1+3sin(x) est positif. Il est impossible d'avoir les deux.
oui ?

oui je suis d'accord et donc cela nous amène à koi ?

Et bien x est solution, 1+3sin(x) est forcement negatif.

ah daccord

Il fallait bien lire Si x est solution alors 1+3sin(x) est forcement négatif.
Donc ensuite tu vois vers quoi on se tourne ?

non je ne vois pas vraiment

Tu as compris tout ce qu'on vient de faire jusque la ?
On cherche à trouver les réels x qui vérifie (E).
D'après ce qui précède, on sait que si x est solution alors forcement 1+3sin(x) est négatif.
Il faut donc résoudre 1+3sin(x)<0 pour avoir l'ensemble des solutions possibles.

donc 1+3sin(x)<0
sin(x)<-(1/3)

Oui et l'ensemble des x qui vérifie sin(x)<-1/3 c'est quoi ? ( Avec x dans [-Pi,Pi] )