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Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n

Posté par
reptillegreen 06-01-20 à 23:26

Bonsoir à tous  ^^ :
Dans un exercice, on pose: x_n=2^{p^n}-1 ,avec p un premier et n un entier naturel.
Au fil de l'exercice, j'ai montré (comme demandé) que:
     -x_n divise x_{n+1}, (1)
     - pour tout diviseur d de x_n: \frac{x_{n+1}}{x_n}\equiv p[d], (2)
     -x_n\equiv 1[p], (3)
     -x_n et \frac{x_{n+1}}{x_n} sont premiers entre eux, (4)
     -Enfin, pour tout diviseur de d de \frac{x_{n+1}}{x_n}, l'ordre de 2 modulo d
      vaut p^{n+1}.  (5)

là vient mon problème (cela fais 2-3 semaines que je n'arrive pas à le résoudre): je dois déduire(ce que je n'arrive pas) à partir des deux derniers (je crois) que:
   "pour tout entier naturel n non nul, il existe une infinité de nombre premiers congrus
     à 1 modulo p^n" (6)

machinalement, je pense  qu'un raisonnement par l'absurde doit avoir lieu: on suppose que leur ensemble est fini et on pose p_1, ... ,p_r ces dit-nombres premiers:
MAIS:  je vois pas trop, voire pas du tout, le lien entre (5) et (6).
je pense qu'il faut utiliser (4) or....comment? si je pose N=p_1...p_r, je pense supposer que N divise l'un, or....je tourne en bourrique en essayant. et si j'utilise (5), j'ai, par définiton:  N\equiv 1[p^n] donc Np\equiv p[p^{n+1}] or... je ne vois pas son utilité.

Je remercie par avance quiconque qui prendra la peine de m'aider :

PS: (j'utilise pour la première fois le site, donc si j'ai fais des erreurs...désolé!) l'exercice
en question provient d'un DM d'un prof de prépa qui laisse son site ouvert au public, et donc ses documents (dont le DM en question). Est-ce que, en demandant de l'aide sur son problème, je risque pas de nuire à son enseignement (puisqu'une des questions sera résolu directement sur internet) ??







Posté par
reptillegreenre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 09-01-20 à 21:36

s'il vous plaît   <(_ _)> !

Posté par
boninmire : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 10-01-20 à 10:07

Cet exercice fait penser aux nombres de Mersenne, au petit théorème de Fermat, mais ça n'avance peut-être à rien. Peut-être tout de même chercher un peu mieux dans la documentation autour des nombres premiers, ça m'étonnerait que ce théorème ne soit pas documenté.

Je n'ai pas vraiment de piste, mais je ne suis pas sûr que ton N soit vraiment utile. Il faut certainement raisonner par l'absurde, mais il me semble que si l'ensemble considéré est fini, il faut plutôt regarder ce que cela veut dire pour la suite xn (finie elle aussi ?) .

Posté par
reptillegreenre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 10-01-20 à 20:14

Malheureusement, je n'ai pas réussi à trouver des informations relatif à mon problème (ou alors je suis nul pour la documentation ^^' ).

Malgré ta proposition , je n'arrive pas à trouver une piste de résolution. (cela m'étonnerait que la suite est fini: à part si je me trompe et que je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par "fini", la suite est défini sur \N et il n'y a pas de valeur de n ou intervalle interdits , donc la suite a une infinité de termes.
j'ai remarqué que si je pose N=p_1...p_r, et:E=2^N-2, alors; pour un certain q\in \N: E=2x_n\sum_{k=0}^{q-1}{(2^n)^k} .... bon, ici, je vois pas trop comment ça peut m'aider....

Dans les faits, je ne voit ABSOLUMENT PAS le lien qui y a entre (5) et (6). Est-ce que on pourrai m'éclaircir cela ?
Merci néanmoins de ton aide boninmi ^^

Posté par
boninmire : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 10-01-20 à 20:30

Par finie, je voulais dire à nombre fini de termes distincts. Mais je n'ai pas creusé davantage le sujet.

Posté par
reptillegreenre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 10-01-20 à 21:19

Pardonnez-moi mais, qu'est tu entends par "à nombre fini de terme distincts" ? (la termes de la suite "peuvent être rangé" dans un ensemble qui serai fini ?)

Posté par
boninmire : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 10-01-20 à 22:50

Non, mon idée est fausse.

Posté par
boninmire : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 11-01-20 à 13:45

J'espérais qu'en faisant remonter le sujet quelqu'un de plus frais que moi interviendrait, mais ça n'a pas l'air .

L'idée de raisonner par l'absurde doit être poursuivie me semble-t-il. Plutôt que de miser sur ton N, j'essaierais de miser sur un nombre premier P supérieur à tous les p1, p2, ..., pr congrus à 1 modulo pn. Il y a une infinité de tels nombres P, l'ensemble des nombres premiers étant infinis. L'idée est de montrer qu'il y en a au moins un congru à 1 modulo pn, contradiction.

Quelqu'un d'autre peut aider ?

Posté par
mokassinre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 11-01-20 à 14:56

Bonjour,
Ce que tu as fait tu suffit pour prouver que pour tout m, tu as un nombre premier congu à 1 mod p^m.
Et donc si tu te fixes un n, il y en a donc une infinité congrue à 1 mod p^n (il suffit de prendre m de la forme n+d avec d assez grand)

En effet,

reptillegreen @ 06-01-2020 à 23:26


     -Enfin, pour tout diviseur de d de \frac{x_{n+1}}{x_n}, l'ordre de 2 modulo d
      vaut p^{n+1}.  (5)

Prend d un diviseur premier, alors l'ordre de 2 mod d est p^{n+1} et donc... p^{n+1} divise d-1.

Posté par
reptillegreenre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 11-01-20 à 18:58

Je te remercie mokassin de ton aide !

Par conséquent, est-ce correct?:
En reprenant mon début de raisonnement par l'absurde
-(avec d un premier) Comme p^{n+1}\mid(d-1) alors par transitivité de la divisibilité : p^{n+1}\mid(d-1) , soit d\equiv 1 [p^n].
-je montre par récurrence que PGCD(\frac{x_{n+1}}{x_n},\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}},...,\frac{x_{m+1}}{x_m}), avec m\in\N/m>n.
_Je pose l'ensemble E=\left\{\frac{x_{n+1}}{x_n},\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}},...,\frac{x_{m+1}}{x_m} \right\}. cardE=m-n+1,  et d'après ce qui est au-dessus, alors j'ai (m+1) nombres premiers distincts.
-En posant m=n+r, j'ai ma contradiction.

En tout cas, je vous remercie encore de votre aide et d'avoir donner de votre temps pour mon problème ^^ !

Posté par
reptillegreenre : Infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo p^n 11-01-20 à 19:04

*pour le premier tiret , après transitivité: p^n\mid (d-1)


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