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Initialisation

Posté par
pfff 30-06-20 à 06:19

Bonjour, on me demande de montrer par récurrence mais je bloque sur l'initialisation. Merci de m'aider

ÉNONCÉ

I_0 = \frac{\pi }{2}, I_1 = 1 , I_2 = \frac{\pi }{4}

Démontrer par récurrence que :

I_2_n =\frac{1*3*5*.....*(2n-1)}{2*4*6*.....*2n}*\frac{\pi }{2} pour n \geq 1 ,

I_2_n_+_1 =\frac{2*4*6*.....*(2n)}{1*3*5*.....*2n-1}*\frac{1 }{2n+1} \: pour\: n\geq 0

Posté par
Yzzre : Initialisation 30-06-20 à 07:34

Salut,

Pour l'initialisation, on retombe bien sur les valeurs de I1 et I2 en prenant respectivement n = 0 dans I2n+1 et n = 1 dans I2n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Initialisation 30-06-20 à 07:55

Bonjour,
Je suis d'accord avec n=1 dans I2n.
Mais pour n=0 dans I2n+1, ou plutôt dans \; \dfrac{2*4*6*.....*(2n)}{1*3*5*.....*2n-1}*\dfrac{1 }{2n+1} , les pointillés nécessitent une interprétation qui ne me semble pas évidente :
Au numérateur, comment aller de 2 à 0, et au dénominateur de 1 à -1 ?

Posté par
carpediemre : Initialisation 30-06-20 à 09:17

salut

I_{2n + 1} = \dfrac 1 {2n + 1} \prod_0^{n - 1} \dfrac {2k + 2}{2k + 1}

avec pour convention que le produit de 0 élément vaut 1 ...

Posté par
Yzzre : Initialisation 30-06-20 à 09:19

Salut Sylvieg  

Oui effectivement, je m'étais contenté de vérifier seulement le premier...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Initialisation 30-06-20 à 09:21

Bonjour carpediem,
Et le produit de -1 élément, ça vaut combien avec cette convention ?

Posté par
carpediemre : Initialisation 30-06-20 à 09:25

les sommes et produits partent d'un entier m à un entier n avec m \le n donc si m > n l'ensemble d'indices est considéré comme vide ...


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